Segnatura di una matrice con parametro reale
Ciao! Spero di non fare disastri dato che è la mia prima domanda!
Avrei un problema nel calcolo della segnatura di questa matrice: $ Bt $ = $ ((t^2,t,0),(t,1,t+1),(0,t+1,(t+1)^2)) $
Io trovato il polinomio caratteristico $ P(x) = -x^3 + 2(t^2 + t + 1)x^2 - t^2(t+1)^2x - t^2(t+1)^2 $ ma ora non so se posso applicare la regola di Cartesio per trovare il segno degli autovalori.
Inoltre ho un dubbio: la mia professoressa ha definito la segnatura come una coppia $ (s,k) $ dove s = numero autovalori positivi e k = numero autovalori negativi. Nei forum su internet ho trovato spesso che la segnatura è una tripla che include anche il numero di autovalori nulli, quindi non saprei come calcolarla se dovesse presentarsi quest'ultimo caso.
Ci sono altri modi per calcolare la segnatura? Vi ringrazio
Avrei un problema nel calcolo della segnatura di questa matrice: $ Bt $ = $ ((t^2,t,0),(t,1,t+1),(0,t+1,(t+1)^2)) $
Io trovato il polinomio caratteristico $ P(x) = -x^3 + 2(t^2 + t + 1)x^2 - t^2(t+1)^2x - t^2(t+1)^2 $ ma ora non so se posso applicare la regola di Cartesio per trovare il segno degli autovalori.
Inoltre ho un dubbio: la mia professoressa ha definito la segnatura come una coppia $ (s,k) $ dove s = numero autovalori positivi e k = numero autovalori negativi. Nei forum su internet ho trovato spesso che la segnatura è una tripla che include anche il numero di autovalori nulli, quindi non saprei come calcolarla se dovesse presentarsi quest'ultimo caso.
Ci sono altri modi per calcolare la segnatura? Vi ringrazio
Risposte
"Alino":
ma ora non so se posso applicare la regola di Cartesio per trovare il segno degli autovalori.
Applicarla è lecito perché il coefficiente $2(t^2+t+1)$ è positivo per ogni $t$ mentre il coefficiente $-t^2(t+1)^2$ è negativo (o nullo) per ogni $t$. Se t=0 o $t=-1$, gli autovalori sono $0$ con molteplicità due e $2$ con molteplicità uno, altrimenti sai che le radici positive possono essere due o zero mentre ce n'è solo una negativa.
Però a pensarci bene non so se per poterla applicare si debba essere sicuri che il polinomio abbia tutte le radici reale...
Ti ringrazio!
In definitiva, secondo la definizione che mi è stata data, posso dire che se $ t != 0 ^^ t !=-1 $ la segnatura è $ (2,1) $ , mentre se $ t = 0 ^^ t =-1 $ non posso concludere? Tu come avresti svolto questo esercizio?
In definitiva, secondo la definizione che mi è stata data, posso dire che se $ t != 0 ^^ t !=-1 $ la segnatura è $ (2,1) $ , mentre se $ t = 0 ^^ t =-1 $ non posso concludere? Tu come avresti svolto questo esercizio?
Onestamente è la prima volta che sento nominare la segnatura e il criterio di cartesio 
Comunque se tu fossi sicuro che tutte le radici del polinomio caratteristico fossero reali, secondo me si potrebbe concludere che la segnatura è $(2,1)$.
Comunque se tu fossi sicuro che tutte le radici del polinomio caratteristico fossero reali, secondo me si potrebbe concludere che la segnatura è $(2,1)$.
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