Segnatura di una matrice.
Buongiorno.
Ho cercato nel forum ma non ho trovato niente di utile quindi apro un altro topic.
Dunque la mia domanda è, cos'è la segnatura?
Il mio prof l'ha definita così:
premessa: M è la matrice associata di una quadrica, ed A è la sottomatrice di M33.
"S(A) indica la segnatura di A, ossia la differenza tra il numero di autovalori positivi e autovalori negativi di A."
Nel mio esercizio devo proprio ricercare questa segnatura:
Data la quadrica di equazione $ 3x^2 + 3y^2 + 6z^2 -2xy -6x +2y +12z +7 =0 $ determinarne il tipo, se risulta a centro, il centro ed i piani di simmetria.
L'inizio dell'esercizio è semplice. Faccio la solita matrice associata M: $ | ( 3 , -1 , 0 , -3 ),( -1 , 3 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , 6 , 6 ),( -3 , 1 , 6 , 7 ) | $ . calcolandola viene $ M=-96 $
A questo punto calcolo A: $ | ( 3 , -1 , 0 ),( -1 , 3 , 0 ),( 0 , 0 , 6 ) | $ e viene $A=48$. Questo mi dice che la quadrica è a centro.
A questo punto l'esercizio dice:
"poiché gli autovalori sono 2,4,6 ossia s(A)=3, si ha che l'equazione rappresenta un ellissoide."
Ecco questo punto sinceramente non l'ho capito.
So che gli autovalori li calcolo così: $ | ( 3-x , -1 , 0 ),( -1 , 3-x , 0 ),( 0 , 0 , 6-x ) | $ e che essi sono le radici del polinomio caratteristico, ma non riesco a calcolare la segnatura.
mi potete aiutare?
grazie
Ho cercato nel forum ma non ho trovato niente di utile quindi apro un altro topic.
Dunque la mia domanda è, cos'è la segnatura?
Il mio prof l'ha definita così:
premessa: M è la matrice associata di una quadrica, ed A è la sottomatrice di M33.
"S(A) indica la segnatura di A, ossia la differenza tra il numero di autovalori positivi e autovalori negativi di A."
Nel mio esercizio devo proprio ricercare questa segnatura:
Data la quadrica di equazione $ 3x^2 + 3y^2 + 6z^2 -2xy -6x +2y +12z +7 =0 $ determinarne il tipo, se risulta a centro, il centro ed i piani di simmetria.
L'inizio dell'esercizio è semplice. Faccio la solita matrice associata M: $ | ( 3 , -1 , 0 , -3 ),( -1 , 3 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , 6 , 6 ),( -3 , 1 , 6 , 7 ) | $ . calcolandola viene $ M=-96 $
A questo punto calcolo A: $ | ( 3 , -1 , 0 ),( -1 , 3 , 0 ),( 0 , 0 , 6 ) | $ e viene $A=48$. Questo mi dice che la quadrica è a centro.
A questo punto l'esercizio dice:
"poiché gli autovalori sono 2,4,6 ossia s(A)=3, si ha che l'equazione rappresenta un ellissoide."
Ecco questo punto sinceramente non l'ho capito.
So che gli autovalori li calcolo così: $ | ( 3-x , -1 , 0 ),( -1 , 3-x , 0 ),( 0 , 0 , 6-x ) | $ e che essi sono le radici del polinomio caratteristico, ma non riesco a calcolare la segnatura.
mi potete aiutare?
grazie
Risposte
Wikipedia non ha ancora una voce con questo nome
....
qualcosa di più concreto?
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qualcosa di più concreto?
Ahah, scusami davvero, o hanno rimosso la pagine nelle ultime ore o non era quella che volevo linkarti! XD
In ogni caso la segnatura di una matrice è una terna di numeri naturali ${n_1,n_2,n_3}$, dove $n_1=$numero di autovalori positivi, $n_2=$ numero di autovalori negativi, $n_3=$numero di autovalori nulli.
In ogni caso la segnatura di una matrice è una terna di numeri naturali ${n_1,n_2,n_3}$, dove $n_1=$numero di autovalori positivi, $n_2=$ numero di autovalori negativi, $n_3=$numero di autovalori nulli.
"Giuly19":
Ahah, scusami davvero, o hanno rimosso la pagine nelle ultime ore o non era quella che volevo linkarti! XD
In ogni caso la segnatura di una matrice è una terna di numeri naturali ${n_1,n_2,n_3}$, dove $n_1=$numero di autovalori positivi, $n_2=$ numero di autovalori negativi, $n_3=$numero di autovalori nulli.
Ok, nessun problema
Grazie per la spiegazione, molto chiara ed infatti ho capito che cos'è adesso. La mia domanda è:
Siccome è richiesto di calcolare sia la segnatura di M che della matrice A, come posso fare? grazie
Una volta che hai capito cos'è, dove sta il problema? Calcola gli autovalori e vedi quanti ce ne sono di positivi,negativi o nulli.
"Giuly19":
Una volta che hai capito cos'è, dove sta il problema? Calcola gli autovalori e vedi quanti ce ne sono di positivi,negativi o nulli.
scusami pensavo ci fosse un modo più rapido, anche perché negli appunti c'è scritto: "per risolvere il problema degli autovalori positivi e negativi, non è necessario determinare esattamente le radici del polinomio caratteristico, che sappiamo essere reali, ma possiamo usare il criterio di Cartesio".
Io so che cos'è il criterio di Cartesio, ma non capisco il nesso.
Se sai cos'è il criterio di Cartesio, applicalo. Ti dice esattamente quante sono le radici positive o negative di un polinomio, se lo usi su quello caratteristico trovi esattamente il numero di autovalori positivi,negativi o nulli della matrice.
"Paolo90":
Qui il link suggerito da Giuly19 (mancava una parentesi nell'url).
grazie a te ed a Giuly19
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