Secondo teorema diLaplace

[Xender]

Salve ragazzi, ecco il mio problema:

Laplace, secondo teorema, dalla definizione del libro non si capisce, e per risparmiare l'autore non ha neanche messo la dimostrazione (o forse è troppo semplice e io sono idiota che non la capisco)

Ho cercato di "interpretare la definizione di questo teorema" ma applicandolo su una matrice qualunque non mi risulta in nessun modo.

questa è la matrice su cui ho tentato di applicare il secondo teorema di Laplace

$((1,2,1,-1),(0,1,2,3),(1,0,-2,0),(1,1,1,2))$

Con il primo teorema di Laplace mi ci sono già calcolato il determinante che risulta -8 (calcolato sopprimendo la 3° riga)

Voglio far notare che comunque la definizine del secondo teorema di Laplace (che mi sta pure simpatico) è diversa da quella di wikipedia, perchè essa distingue il primo e il secondo teorema di Laplace solo per l'applicazione del primo, cioè secondo wikipedia il loro primo teorema è uguale al nostro ma solo applicato alle righe, mentre il loro secondo teorema è il primo però applicato solo alle colonne
Ecco, da quanto ho inteso dalla strana definizione del mio libro la somma di qualcosa vale 0....diversamente da come dice wikipedia...

A parte quindi la notazione su wikipedia, qualcuno mi aiuterebbe sulla definizione (più chiara il possibile) e sulla sua dimostrazione, magari anche sulla matrice che ho proposto io?

Un ringraziamento in anticipo


....Francesco....

[squalllionheart]

Mi dici la definizione del secondo teorema di Laplace, forse se la enunci posso aiutare

[Xender]

"squalllionheart":Mi dici la definizione del secondo teorema di Laplace, forse se la enunci posso aiutare

Ciao squalllionheart, hi ragione avrei dovuto scriverla subito la definizione scusami.

Eccola qui:


Sia A = ($a_{i,j}$ ) una matrice quadrata di ordine n, la somma dei prodotti degli elementi di una riga (o colonna) per i complementi algebrici di un'altra riga (o colonna) vale 0. Cioè:

$\sum_{j=1}^n $ aij Ahj = 0

per ogni i diverso da h


Scusa se ho perso tempo a rispondere ma ho perso tantissimo tempo facendo sempre "Anteprima" perchè non riuscivo a scivere la formula!!!

[squalllionheart]

Allora non vorrei dire una cretinata, ma se ho bene interpretato, ti faccio un esempio con una matrice in dimensione minore:
$A=((1,2),(3,4))$
il prodotto degli elementi della seconda colonna è $8$, ora la matrice dei complementi algebrici è $A=((4,-3),(-2,1))$, ora se vedi bene il prodotto degli elementi sulla prima colonna è $-8$, quindi funge. Ovviamente in dimensione più grande è la stessa cosa ma il conto è più lungo dato che i complementi algebrici di una matrice $2x2$ si trovano cambiando il segno in modo alterno, invece in dimensione maggiore ti devi fare tutti e 9 i determinanti.
Ciao

[Xender]

Ma continua a non andare!

ho provato su una matrice 3x3 ma mi sono venute cose assurde

$ A=((2,1,-1),(1,2,3),(1,1,2))$

ed ecco la matrice dei complementi algebrici $ A'=((1,1,-1),(-3,5,-1),(5,-7,3))$ (con i segni già cambiati)

Spero di non aver fatto errori nei calcoli, ma è inutile dirti che se fatto giusto il secondo teorema di Laplace non vale!

Adesso il problema è più grosso, ho capito Laplace, ma non riesco a metterlo in pratica :stica::stica:

[squalllionheart]

Ummmmmmm............... Ci penso e ti faccio sapere;)

[Xender]

grazie mille squalllionheart

[pinturicchio.212]

Comunque vedi che sulla matrice che hai messo funziona!!! fai il prodotto della prima riga della matrice per la seconda della matrice dei complementi e viene (2 1 -1) per (-3 5 -1)= -6 +5 +1 = 0!!

se fai il prodotto di righe o colonne uguali (prima riga della matrice per prima riga della matrice dei complementi) il risultato sarà il determinante della matrice come afferma il teorema di laplace!

spero di esserti stato d'aiuto