Secondo teorema di Laplace
Salve a tutti,avrei un problemino con la dimostrazione del secondo teorema di Laplace, qualcuno può aiutarmi?
Riporto l'enunciato del secondo teorema di Laplace :
Sia A una matrice quadrata di ordine n. La somma dei prodotti degli elementi di una sua riga (o colonna) per i complementi algebrici degli elementi di un'altra riga ( o colonna) vale zero.
Dimostrazione a parole :
È diretta conseguenza del teorema di Laplace I. Infatti la somma dei prodotti degli elementi di una riga (colonna) per i complementi algebrici degli elementi di un'altra riga (colonna), fornisce il determinante di una matrice in cui due righe (colonne) coincidono, e quindi, per la proprietà dei determinanti, il determinante è nullo.
Dimostrazione "formale":
Il primo teorema dice che : $ A'Cof(A)=det (A)In $
dove 'cof(a) è la trasposta della matrice cofattore di A.
Il professore dice che questa formula è equivalente a :
$ sum_(k = \1)a_(ik)A_(jk)=det(A)In $
Perchè?
Inoltre dobbiamo dimostrare che se i è diverso da j allora $ sum_(k = \1)a_(ik)A_(ik)=0 $
La dimostrazione procede tenendo conto dei complementi algebrici di una matrice B( ottenuta dalla matrice A sostituendo alla j-esima riga la i-esima) ma a questo punto ci sono troppi passaggi e non riesco a seguirli, qualcuno avrebbe una dimostrazione più sintetica?
Grazie!
Riporto l'enunciato del secondo teorema di Laplace :
Sia A una matrice quadrata di ordine n. La somma dei prodotti degli elementi di una sua riga (o colonna) per i complementi algebrici degli elementi di un'altra riga ( o colonna) vale zero.
Dimostrazione a parole :
È diretta conseguenza del teorema di Laplace I. Infatti la somma dei prodotti degli elementi di una riga (colonna) per i complementi algebrici degli elementi di un'altra riga (colonna), fornisce il determinante di una matrice in cui due righe (colonne) coincidono, e quindi, per la proprietà dei determinanti, il determinante è nullo.
Dimostrazione "formale":
Il primo teorema dice che : $ A'Cof(A)=det (A)In $
dove 'cof(a) è la trasposta della matrice cofattore di A.
Il professore dice che questa formula è equivalente a :
$ sum_(k = \1)a_(ik)A_(jk)=det(A)In $
Perchè?
Inoltre dobbiamo dimostrare che se i è diverso da j allora $ sum_(k = \1)a_(ik)A_(ik)=0 $
La dimostrazione procede tenendo conto dei complementi algebrici di una matrice B( ottenuta dalla matrice A sostituendo alla j-esima riga la i-esima) ma a questo punto ci sono troppi passaggi e non riesco a seguirli, qualcuno avrebbe una dimostrazione più sintetica?
Grazie!
Risposte
Non ho ben capito la tua notazione ad ogni modo la trasposta della matrice dei cofattori di $A$ viene chiamata aggiunta di $A$ e si indica con $adj(A)$, magari volevi scrivere che$sum_(k=1)^n a_(ik)(adj(A))_(ki)=det(A)$, e questo infatti non è che equivale, pero è conseguenza di $Axxadj(A)=det(A)I_n$ poichè gli elementi sulla diagonale della matrice prodotto sono espressi come prodotto della $i$-esima riga di $A$ con la $i$-esima riga di $adj(A)$ e per ipotesi tali elementi sono$det(A)$.
sia $AinM(RR)_(nxxn)$, indichiamo con $A_(ij)$ la matrice ottenuta da $A$ cancellando la$i$-esima riga e la $j$-esima colonna;Il secondo teorema di Laplace dice che $sum_(k=1)^n a_(ik)(-1)^(j+k)det(A_(jk))=0$ con $i!=j$;
La dimostrazione è immediata e segue l'esatto ragionamento che hai fatto tu!
Non ci sono passaggi intermedi, c'è solo l'osservazione che in questa somma gli elementi della $j$-esima riga di $A$ non compaiono, ma allora sia $B$ la matrice ottenuta da $A$ sostituendo la riga $j$-esima con quella $i$-esima, allora essendo per costruzione $b_(jk)=a_(ik) , A_(jk)=B_(jk)$ allora $sum_(k=1)^n a_(ik)(-1)^(j+k)det(A_(jk))= sum_(k=1)^n b_(jk)(-1)^(j+k)det(B_(jk))$ quest'ultima pero è proprio lo sviluppo del determinante secondo Laplace di $B$ rispetto alla $j$-esima riga e tale determinante è nullo.
sia $AinM(RR)_(nxxn)$, indichiamo con $A_(ij)$ la matrice ottenuta da $A$ cancellando la$i$-esima riga e la $j$-esima colonna;Il secondo teorema di Laplace dice che $sum_(k=1)^n a_(ik)(-1)^(j+k)det(A_(jk))=0$ con $i!=j$;
La dimostrazione è immediata e segue l'esatto ragionamento che hai fatto tu!
Non ci sono passaggi intermedi, c'è solo l'osservazione che in questa somma gli elementi della $j$-esima riga di $A$ non compaiono, ma allora sia $B$ la matrice ottenuta da $A$ sostituendo la riga $j$-esima con quella $i$-esima, allora essendo per costruzione $b_(jk)=a_(ik) , A_(jk)=B_(jk)$ allora $sum_(k=1)^n a_(ik)(-1)^(j+k)det(A_(jk))= sum_(k=1)^n b_(jk)(-1)^(j+k)det(B_(jk))$ quest'ultima pero è proprio lo sviluppo del determinante secondo Laplace di $B$ rispetto alla $j$-esima riga e tale determinante è nullo.
Fantastico!! grazie 
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