Se (x1 + x2 + ... + xn = n)allora( x1 * x2 * ... * xn <=
Salve Ragazzi ho una piccola curiosità, come si fa a dimostrare sta cosa:
Se per n>=2 vale (x1 + x2 + ... + xn = n) allora ( x1 * x2 * ... * xn <= 1)
Credo che si potrebbe dimostrare per induzione, la base induttiva per n = 2 penso di averla trovata e dovrebbe essere:
Dato
x1 + x2 = 2
Per ogni "a" reale
è lecito porre x1 = 1 - a
e quindi porre x2 = 1 + a
quindi
x1 + x2 = 2 diventa:
(1 - a) + (1 + a) = 2
quindi bisogna dimostrare che la
x1 * x2 <= 1 è sempre vera
ma questo sappiamo che è equivalente di dimostrare che
(1 - a) * (1 + a ) <= 1 è sempre vera,
quindi:
1 - a^2 <= 1
-a^2 <= 1-1
a^2 >= 0
è questa sappiamo che è vera sempre
La dimostrazione come la continuo per n numeri reali?
Cioè come si dimostra il passo induttivo?
Grazie per le eventuali risposte.
Se per n>=2 vale (x1 + x2 + ... + xn = n) allora ( x1 * x2 * ... * xn <= 1)
Credo che si potrebbe dimostrare per induzione, la base induttiva per n = 2 penso di averla trovata e dovrebbe essere:
Dato
x1 + x2 = 2
Per ogni "a" reale
è lecito porre x1 = 1 - a
e quindi porre x2 = 1 + a
quindi
x1 + x2 = 2 diventa:
(1 - a) + (1 + a) = 2
quindi bisogna dimostrare che la
x1 * x2 <= 1 è sempre vera
ma questo sappiamo che è equivalente di dimostrare che
(1 - a) * (1 + a ) <= 1 è sempre vera,
quindi:
1 - a^2 <= 1
-a^2 <= 1-1
a^2 >= 0
è questa sappiamo che è vera sempre
La dimostrazione come la continuo per n numeri reali?
Cioè come si dimostra il passo induttivo?
Grazie per le eventuali risposte.
Risposte
Un consiglio: scarica MathML.
Dato che $x_1+x_2+ldots+x_n=n$, niente ci vieta di considerare $x_i=1 forall 1<=i<=n$. Se per caso uno di questi, chiamiamolo $x_j$, variasse di una quantità $q$, per "compensare" ci sarebbe bisogno di un $x_k$ che vari di $-q$. Il prodotto tra i numeri è allora $x_1x_2ldotsx_jx_kldotsx_(n-1)x_n$. Ma $x_jx_k=(1+q)(1-q)=1-q^2$, e tale quantità è $<=1$; gli altri $x_i$ sono uni quindi il prodotto è $<=1$. Invece di far variare solo 2 elementi puoi farne variare quanti ne vuoi, il risultato è lo stesso.
Dato che $x_1+x_2+ldots+x_n=n$, niente ci vieta di considerare $x_i=1 forall 1<=i<=n$. Se per caso uno di questi, chiamiamolo $x_j$, variasse di una quantità $q$, per "compensare" ci sarebbe bisogno di un $x_k$ che vari di $-q$. Il prodotto tra i numeri è allora $x_1x_2ldotsx_jx_kldotsx_(n-1)x_n$. Ma $x_jx_k=(1+q)(1-q)=1-q^2$, e tale quantità è $<=1$; gli altri $x_i$ sono uni quindi il prodotto è $<=1$. Invece di far variare solo 2 elementi puoi farne variare quanti ne vuoi, il risultato è lo stesso.
"elgiovo":
Un consiglio: scarica MathML.
Dato che $x_1+x_2+ldots+x_n=n$, niente ci vieta di considerare $x_i=1 forall 1<=i<=n$. Se per caso uno di questi, chiamiamolo $x_j$, variasse di una quantità $q$, per "compensare" ci sarebbe bisogno di un $x_k$ che vari di $-q$. Il prodotto tra i numeri è allora $x_1x_2ldotsx_jx_kldotsx_(n-1)x_n$. Ma $x_jx_k=(1+q)(1-q)=1-q^2$, e tale quantità è $<=1$; gli altri $x_i$ sono uni quindi il prodotto è $<=1$. Invece di far variare solo 2 elementi puoi farne variare quanti ne vuoi, il risultato è lo stesso.
Così com'è posto, il problema afferma un falso. Prova $n = 3$, $x_1 = x_2 = -1$ ed $x_3 = 5$. E' necessario assumere $x_i \ge 0$, per ogni $i = 1, 2, ..., n$, perché la tesi sia valida. Nel qual caso, per la disuguaglianza AM-GM: $\prod_{i=1}^n x_i \le (\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i)^n = 1$, q.e.d.
"DavidHilbert":
$\prod_{i=1}^n x_i \le (\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i) = 1$, q.e.d.
Penso tu abbia sbagliato a scrivere la formula: $\root{n}{\prod_{i=1}^n x_i} \le \frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i$
In realtà, è che ho dimenticato un esponente "n" a secondo membro. Edito!
Una delle possibili dimostrazioni per induzione è la seguente.
Supponiamo di aver dimostrato correttamente l’asserto per le sequenze composte da $2$ elementi ed assumiamo
Ipotesi Induttiva) $n>=2$, $forall x_1, ldots, x_n >= 0$, $x_1 + ldots + x_n = n -> x_1 * ldots * x_n <= 1$.
Se $x_1, ldots, x_(n + 1) >= 0$ e
$ x_1 + ldots + x_(n + 1) = n + 1$
allora non per tutti gli $x_i$ si ha che $x_i < 1$, ed allo stesso modo nemmeno per tutti gli $x_i$ si ha che $x_i > 1$ perciò
1) per qualche $i$, $x_i >= 1$
e
2) per qualche $j$, $0 <= x_j <= 1$
Se $x_i$ ed $x_j$ coincidono, cioè se $i = j$, allora $x_i = 1$ ed ovviamente segue la tesi. Se non coincidono, siccome la somma è un’operazione associativa e commutativa, possiamo avvicinare $x_i$ ed $x_j$ scrivendo una nuova sequenza con gli stessi $n + 1$ termini
$x_1 + ldots + x_i + x_j + ldots + x_(n + 1) = n + 1$
e per (2), $x_j$ potrà essere scritto come $1 - k$ per qualche $0 <= k <= 1$
A) $x_1 + ldots + x_i + (1 – k) + ldots + x_(n + 1) = n + 1$
$x_1 + ldots + (x_i – 1) + (1 – k) + ldots + x_(n + 1) = n$
$x_1 + ldots + (x_i – 1 + 1 – k) + ldots + x_(n + 1) = n$
B) $x_1 + ldots + (x_i – k) + ldots + x_(n + 1) = n$.
Tenendo conto del fatto che B) è una sequenza di $n$ termini (considerando $(x_i – k)$ come un unico termine), che $x_i – k >= 0$ e che la somma è uguale a $n$, applicando l’ipotesi induttiva abbiamo che
C) $x_1 * ldots * (x_i – k) * ldots * x_(n + 1) <= 1$.
Infine osservando che $(x_i >= 1$ e $0 <= k <= 1) -> (x_i * (1 – k) <= x_i – k)$ e moltiplicando i vari elementi delle due sequenze (che per ipotesi sono $>= 0$) all'ultima disuguaglianza ottenuta, si ha che
D) $x_1 * ldots * x_i * (1 – k) * ldots * x_(n + 1) <= x_1 * ldots * (x_i – k) * ldots * x_(n + 1) <= 1$.
Non so, non mi sembra ci siano errori...
Arrivederci!
Supponiamo di aver dimostrato correttamente l’asserto per le sequenze composte da $2$ elementi ed assumiamo
Ipotesi Induttiva) $n>=2$, $forall x_1, ldots, x_n >= 0$, $x_1 + ldots + x_n = n -> x_1 * ldots * x_n <= 1$.
Se $x_1, ldots, x_(n + 1) >= 0$ e
$ x_1 + ldots + x_(n + 1) = n + 1$
allora non per tutti gli $x_i$ si ha che $x_i < 1$, ed allo stesso modo nemmeno per tutti gli $x_i$ si ha che $x_i > 1$ perciò
1) per qualche $i$, $x_i >= 1$
e
2) per qualche $j$, $0 <= x_j <= 1$
Se $x_i$ ed $x_j$ coincidono, cioè se $i = j$, allora $x_i = 1$ ed ovviamente segue la tesi. Se non coincidono, siccome la somma è un’operazione associativa e commutativa, possiamo avvicinare $x_i$ ed $x_j$ scrivendo una nuova sequenza con gli stessi $n + 1$ termini
$x_1 + ldots + x_i + x_j + ldots + x_(n + 1) = n + 1$
e per (2), $x_j$ potrà essere scritto come $1 - k$ per qualche $0 <= k <= 1$
A) $x_1 + ldots + x_i + (1 – k) + ldots + x_(n + 1) = n + 1$
$x_1 + ldots + (x_i – 1) + (1 – k) + ldots + x_(n + 1) = n$
$x_1 + ldots + (x_i – 1 + 1 – k) + ldots + x_(n + 1) = n$
B) $x_1 + ldots + (x_i – k) + ldots + x_(n + 1) = n$.
Tenendo conto del fatto che B) è una sequenza di $n$ termini (considerando $(x_i – k)$ come un unico termine), che $x_i – k >= 0$ e che la somma è uguale a $n$, applicando l’ipotesi induttiva abbiamo che
C) $x_1 * ldots * (x_i – k) * ldots * x_(n + 1) <= 1$.
Infine osservando che $(x_i >= 1$ e $0 <= k <= 1) -> (x_i * (1 – k) <= x_i – k)$ e moltiplicando i vari elementi delle due sequenze (che per ipotesi sono $>= 0$) all'ultima disuguaglianza ottenuta, si ha che
D) $x_1 * ldots * x_i * (1 – k) * ldots * x_(n + 1) <= x_1 * ldots * (x_i – k) * ldots * x_(n + 1) <= 1$.
Non so, non mi sembra ci siano errori...
Arrivederci!
Grazie bub, elegante e chiara. Io questo cercavo!!!!
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