Se il quoziente è di Hausdorf...
Se $X$ è uno spazio di Hausdorff sappiamo che non necessariamente lo spazio quoziente $X$$/$$\sim$ è di Hausdorff.
Se invece $X$$/$$\sim$ è di Hausdorff, possiamo affermare che anche $X$ è di Hausdorff?
Mi viene da dire di sì, però non riesco a provarlo:
prendo $x!=y\in X$ e devo distinguere due casi
- se $[x]!=[y]$, concludo facilmente usando il fatto che $X$$/$$\sim$ è Hausdorff e che la proiezione sul quoziente è continua
- se $[x]=[y]$, non so che fare...
Se invece $X$$/$$\sim$ è di Hausdorff, possiamo affermare che anche $X$ è di Hausdorff?
Mi viene da dire di sì, però non riesco a provarlo:
prendo $x!=y\in X$ e devo distinguere due casi
- se $[x]!=[y]$, concludo facilmente usando il fatto che $X$$/$$\sim$ è Hausdorff e che la proiezione sul quoziente è continua
- se $[x]=[y]$, non so che fare...
Risposte
Domanda interessante.
Ovviamente, si può riformulare il tutto in questo modo: è vero che se $X$ è non Hausdorff allora $X \/\sim$ è ancora non Hausdorff? La risposta, a quanto ho capito, è no, come puoi leggere qui: esistono quozienti T2 di spazi non T2. Interessante, se qualcuno ne sa qualcosa di più, leggo volentieri anche io.
Ovviamente, si può riformulare il tutto in questo modo: è vero che se $X$ è non Hausdorff allora $X \/\sim$ è ancora non Hausdorff? La risposta, a quanto ho capito, è no, come puoi leggere qui: esistono quozienti T2 di spazi non T2. Interessante, se qualcuno ne sa qualcosa di più, leggo volentieri anche io.
Grazie per il link, a quanto dice l'autore del pezzo sembra che si possano costruire quozienti di Hausdorff da spazi non Hausdorff, ma non conosco nessuno dei controesempi che cita..
Premetto che non ho letto il link di Paolo90, comunque se uno costruisse un quoziente di $R$ facendo collassare $( -\infty, 0)$ ad un punto $x$ e $[0, + \infty)$ ad un punto $y$ non otterrebbe un quoziente che non è di hausdorff ?? dal momento che l'unico intorno di $y$ sarebbe ${x,y}$ ? è giusto ? vi quadra? sono matto? 
Edit: ops ho letto male la domanda, perdono!
Edit: ops ho letto male la domanda, perdono!
esatto perple! il fatto che uno spazio sia T2 non implica lo sia anche un suo quozientato
Sì la mia domanda era l'opposto 
Visto che comunque pare che il risultato generale in cui speravo sia falso, posto il mio problema specifico.
Ho un gruppo finito $G$ che agisce liberamente su uno spazio topologico $X$.
Devo provare che se $X$$/$$G$ è una $n$-varietà, allora anche $X$ è una $n$-varietà.
Solo che nella definizione di varietà (topologica) che abbiamo dato si chiede anche che lo spazio sia di Hausdorff.
Dunque dovrei cominciare col provare che essendo $X$$/$$G$ di Hausdorff, anche $X$ lo è.
Io credevo che questo fosse vero in generale, ma invece sembra di no. Per cui bisognerà usare qualche proprietà specifica dell'azione di gruppo..
Visto che comunque pare che il risultato generale in cui speravo sia falso, posto il mio problema specifico.
Ho un gruppo finito $G$ che agisce liberamente su uno spazio topologico $X$.
Devo provare che se $X$$/$$G$ è una $n$-varietà, allora anche $X$ è una $n$-varietà.
Solo che nella definizione di varietà (topologica) che abbiamo dato si chiede anche che lo spazio sia di Hausdorff.
Dunque dovrei cominciare col provare che essendo $X$$/$$G$ di Hausdorff, anche $X$ lo è.
Io credevo che questo fosse vero in generale, ma invece sembra di no. Per cui bisognerà usare qualche proprietà specifica dell'azione di gruppo..
"DeppeP":
esatto perple! il fatto che uno spazio sia T2 non implica lo sia anche un suo quozientato
Eh appunto pensavo avesse chiesto questo ma lui chiede il contrario xD Comunque forse ti ho trovato l'esempio. Consideriamo l'insieme ${x,y,z}$ con la topologia ${\emptyset,{x},{y,z},{x,y,z}}$. Non è Hausdorff ma se facciamo collassare ${y,z}$ ad un punto $w$ allora il quoziente ${x,w}$ con la topologia ${\emptyset,{x},{w},{x,w}}$ è Hausdorff. Se non ho preso un'altra cantonata!
Mi pare giusto, grazie perplesso! Sostanzialmente basta identificare ad un unico punto i punti "troppo vicini" per ottenere un quoziente Hausdorff.
Idee per provare che se invece quozientiamo rispetto all'azione libera di un gruppo finito $G$, allora
$X$$/$$G$ Hausdorff $Rightarrow$ $X$ Hausdorff ?
Idee per provare che se invece quozientiamo rispetto all'azione libera di un gruppo finito $G$, allora
$X$$/$$G$ Hausdorff $Rightarrow$ $X$ Hausdorff ?
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