Scrivere un vettore come somma di altri due
Ciao a tutti, sono bloccato su un esercizio che mi chiede di scrivere il vettore $((1,-1),(0,1))$ come somma di un vettore del sottospazio $U$ e del sottospazio $W$. I sottospazi sono
$U = { ((1,-3),(0,1)), ((0,1),(0,-1))}$
$W = {((1,0),(1,0)),((-1,0),(-1,0)),((0,1),(0,1))}$
Ho determinato le equazioni nella base naturale e ricavato dimensione e base, quindi i vettori sono nella forma
$U:{((x,-2x-t),(0,t)) \in R^4} $ mentre per $W:{((z,t),(z,t)) \in R^4} $
Quindi per ricavarmi il vettore $\vecv = ((1,-1),(0,1))$ dovrei trovarmi tramite la combinazione lineare di un vettore di W e U i coefficienti che mi diano questo vettore? Ma siccome il vettore $\vecv$ ha componente $z=0$ posso solo prendere i due vettori di U e solo il terzo vettore di W dato che ha $z=0$
Quindi tradotto in termini pratici potrei fare solo queste combinazioni lineari?
$(1,-1,0,1)= \alpha(1,-3,0,1) + \beta(0,1,0,1)$
$(1,-1,0,1)= \alpha(0,1,0,-1) + \beta(0,1,0,1)$
Risolvendole non trovo soluzioni..quindi vuol dire che il vettore $((1,-1),(0,1))$ non può essere scritto come somma di un vettore di $W$ e $U$?
Non so forse ho sbagliato approccio e procedimento? Grazie a chi mi saprà aiutare.
$U = { ((1,-3),(0,1)), ((0,1),(0,-1))}$
$W = {((1,0),(1,0)),((-1,0),(-1,0)),((0,1),(0,1))}$
Ho determinato le equazioni nella base naturale e ricavato dimensione e base, quindi i vettori sono nella forma
$U:{((x,-2x-t),(0,t)) \in R^4} $ mentre per $W:{((z,t),(z,t)) \in R^4} $
Quindi per ricavarmi il vettore $\vecv = ((1,-1),(0,1))$ dovrei trovarmi tramite la combinazione lineare di un vettore di W e U i coefficienti che mi diano questo vettore? Ma siccome il vettore $\vecv$ ha componente $z=0$ posso solo prendere i due vettori di U e solo il terzo vettore di W dato che ha $z=0$
Quindi tradotto in termini pratici potrei fare solo queste combinazioni lineari?
$(1,-1,0,1)= \alpha(1,-3,0,1) + \beta(0,1,0,1)$
$(1,-1,0,1)= \alpha(0,1,0,-1) + \beta(0,1,0,1)$
Risolvendole non trovo soluzioni..quindi vuol dire che il vettore $((1,-1),(0,1))$ non può essere scritto come somma di un vettore di $W$ e $U$?
Non so forse ho sbagliato approccio e procedimento? Grazie a chi mi saprà aiutare.
Risposte
mi sembra l'approccio corretto. in effetti, anche provando tutte le possibili combinazioni non lo si riesce a scrivere come somma di un vettore per ogni sottospazio.
potevi anche fare a meno di ricavare base e dimensione (sempre che non fosse richiesto dall'esercizio)
potevi anche fare a meno di ricavare base e dimensione (sempre che non fosse richiesto dall'esercizio)
"cooper":
mi sembra l'approccio corretto. in effetti, anche provando tutte le possibili combinazioni non lo si riesce a scrivere come somma di un vettore per ogni sottospazio.
potevi anche fare a meno di ricavare base e dimensione (sempre che non fosse richiesto dall'esercizio)
Lo richiedeva l'esercizio e l'ho scritto qui perchè pensavo magari servisse
Comunque grazie per la risposta, tra pochi giorni ho il compito di algebra e geometria e voglio togliermi ogni dubbio sugli esercizi
perfetto allora! e in bocca al lupo per l'esame! 
Grazie speriamo vada bene 
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