Scrivere matrice rotazione R3
Ciao, ho bisogno di un metodo per scrivere le matrici delle rotazioni in R3, dato un asse [tex]r: P+\left \langle v \right \rangle[/tex] e un angolo [tex]\theta[/tex] (voglio il risultato nella base canonica).
Io per il momento procedo in questo modo:
1) completo un vettore generatore dello spazio direttore dell'asse ad una base ortonormale equiorientata con la base canonica.
2) utilizzando questa base, la matrice dell'applicazione lineare associata alla rotazione assume la forma semplice
[tex]\left ( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\
0 & \cos\theta & -\sin\theta \\
0 & \sin\theta & \cos\theta
\end{arrau} \right )[/tex]
3) ora moltiplico per le matrici di cambiamento di base (una la conosco perché ho trovato la base ortonormale al punto 1, l'altra è l'inversa che fortunatamente coincide con la trasposta, perchè è una matrice di cambio di base tra due basi ortonormali) e posso trovare la matrice dell'applicazione lineare associata, che chiamo [tex]\phi[/tex].
4) Infine per trovare il valore assunto nell'origine, utilizzo [tex]\rho(O)=\rho(P)+\phi(O-P)[/tex]
Ma ci sono troppi conti da fare, non è che c'è a disposizione qualcosa di più semplice?
Io per il momento procedo in questo modo:
1) completo un vettore generatore dello spazio direttore dell'asse ad una base ortonormale equiorientata con la base canonica.
2) utilizzando questa base, la matrice dell'applicazione lineare associata alla rotazione assume la forma semplice
[tex]\left ( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\
0 & \cos\theta & -\sin\theta \\
0 & \sin\theta & \cos\theta
\end{arrau} \right )[/tex]
3) ora moltiplico per le matrici di cambiamento di base (una la conosco perché ho trovato la base ortonormale al punto 1, l'altra è l'inversa che fortunatamente coincide con la trasposta, perchè è una matrice di cambio di base tra due basi ortonormali) e posso trovare la matrice dell'applicazione lineare associata, che chiamo [tex]\phi[/tex].
4) Infine per trovare il valore assunto nell'origine, utilizzo [tex]\rho(O)=\rho(P)+\phi(O-P)[/tex]
Ma ci sono troppi conti da fare, non è che c'è a disposizione qualcosa di più semplice?
Risposte
Per completare il vettore $v$ ad una
base ortonormale, poichè siamo in $RR^3$ puoi
lavorare con i prodotti vettoriali.
Siano $"e"_i$ i versori nella base canonica.
Per avere un vettore $v_2$ ortogonale a $v$ per esempio puoi considerare:
$v_2="e"_3"x"v$.
E poi avere il vettore $v_3=v_2"x"v$.
E poi normalizzi.
_
Avendo la matrice $\phi$, per conoscere la nuova posizione di un punto $Q$ dopo la rotazione,
devi applicare $phi$ a $vec(PQ)$, e poi aggiungere $vec(OP)$ al risultato:
$\vec(OB"'")=\vec(OP)+\phi(\vec(PB))$
base ortonormale, poichè siamo in $RR^3$ puoi
lavorare con i prodotti vettoriali.
Siano $"e"_i$ i versori nella base canonica.
Per avere un vettore $v_2$ ortogonale a $v$ per esempio puoi considerare:
$v_2="e"_3"x"v$.
E poi avere il vettore $v_3=v_2"x"v$.
E poi normalizzi.
_
Avendo la matrice $\phi$, per conoscere la nuova posizione di un punto $Q$ dopo la rotazione,
devi applicare $phi$ a $vec(PQ)$, e poi aggiungere $vec(OP)$ al risultato:
$\vec(OB"'")=\vec(OP)+\phi(\vec(PB))$
Grazie, ma questo non risponde alla mia domanda... a trovare la base ortonormale ci riesco, il problema è che avendo questa, per trovare la matrice dell'applicazione lineare occorrono molti conti. Comunque ho chiesto in giro e mi hanno detto che non ci sono metodi molto migliori, non con le conoscenze di Matematica del I anno almeno, quindi si può anche lasciar perdere questo topic...
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