Scrivere matrice rispetto a base di autovettori
Ciao a tutti,
ho un esercizio che ho svolto parzialmente (di cui non sono molto sicuro) e l'ultima parte di cui non conosco il procedimento.
Premetto che ho trovato diversi post sull'argomento ma non sono riuscito ad estrapolarne una soluzione, probabilmente perchè non mi ritrovo con alcune parti dell'esercizio.
l'esercizio dice:
data l'applicazione lineare $f:mathbb(R^3) rarr mathbb(R^3) $ definita da:
$ f(x,y,z)=(-1/3x-2/3z,-y,-4/3x+1/3z) $.
a) scrivere la matrice associata a f rispetto alla base canonica nel dominio e nel codominio:
per questo punto ho semplicemente calcolato
$ f(1,0,0)=(-1/3,0,-4/3) $
$ f(0,1,0)=(0,-1,0) $
$ f(0,0,1)=(-2/3,0,1/3) $ e da qui ho composto la matrice:
$ ( ( -1/3 , 0 , -2/3 ),( 0 , -1 , 0 ),( -4/3 , 0 , 1/3 ) ) $ e credo sia giusta, anche se non capisco cosa intenda per
b) il secondo punto mi chiede di determinare gli autovalori della matrice, che ho identificato in
$ lambda_1=1 $
$ lambda_2=-1 $
$ lambda_3=-1 $.
li ho verificati con un sito esterno e sono esatti.
c) la terza parte invece mi chiede di verificare se esiste una base $ \mathfrak(B) $ di $ mathbb(R^3) $ formata da autovettori per $ f $ e in caso affermativo determinarla.
per fare ciò ho svolto i seguenti passaggi: ho sostituto gli autovalori in $ A-lambda_iI $, determinando così il rango della matrice associata ad ogni autovalore, per poter calcolare la molteplicità geometrica e verificare che la base esiste: il risultato è che la base esiste.
ora per calcolarla ho sostituito gli autovalori nell'equazione $ (A-lambda_iI)v=0 $ dove $ v=(x, y, z)^T $ e $ 0=(0,0,0)^T $ trovando $ \mathfrak(B)={(x,0,-2x),(x,y,x)} $.
non so se questa è la forma esatta per esprimere la base trovata.
d) il quarto punto mi chiede di esprimere la matrice di $ f $ rispetto alla base $ \mathfrak(B) $. ora, so che in pratica devo esprimere la matrice come combinazione lineare della base trovata,però in nella pratica non so come potrei fare; ho pensato di scrivere $ ( ( -1/3 , 0 , -2/3 ),( 0 , -1 , 0 ),( -4/3 , 0 , 1/3 ) ) = a ( ( x ),( 0 ),( -2x ) )+b ( ( x ),( y ),( x ) ) $ ma non credo sia corretto.
e) infine mi chiede di dimostrare che f è invertibile ma dovrei saperlo fare.
f) l'ultimo punto mi chiede di scrivere la matrice associata a $ f^-1 $ rispetto alle basi canoniche ma dovrebbe semplice: essa dovrebbe corrispondere alla matrice inversa rispetto a quella associata alle basi canoniche, giusto?
ringrazio in anticipo anche solo per aver letto il messaggio per intero
ho un esercizio che ho svolto parzialmente (di cui non sono molto sicuro) e l'ultima parte di cui non conosco il procedimento.
Premetto che ho trovato diversi post sull'argomento ma non sono riuscito ad estrapolarne una soluzione, probabilmente perchè non mi ritrovo con alcune parti dell'esercizio.
l'esercizio dice:
data l'applicazione lineare $f:mathbb(R^3) rarr mathbb(R^3) $ definita da:
$ f(x,y,z)=(-1/3x-2/3z,-y,-4/3x+1/3z) $.
a) scrivere la matrice associata a f rispetto alla base canonica nel dominio e nel codominio:
per questo punto ho semplicemente calcolato
$ f(1,0,0)=(-1/3,0,-4/3) $
$ f(0,1,0)=(0,-1,0) $
$ f(0,0,1)=(-2/3,0,1/3) $ e da qui ho composto la matrice:
$ ( ( -1/3 , 0 , -2/3 ),( 0 , -1 , 0 ),( -4/3 , 0 , 1/3 ) ) $ e credo sia giusta, anche se non capisco cosa intenda per
rispetto alla base canonica (...) nel codominio
b) il secondo punto mi chiede di determinare gli autovalori della matrice, che ho identificato in
$ lambda_1=1 $
$ lambda_2=-1 $
$ lambda_3=-1 $.
li ho verificati con un sito esterno e sono esatti.
c) la terza parte invece mi chiede di verificare se esiste una base $ \mathfrak(B) $ di $ mathbb(R^3) $ formata da autovettori per $ f $ e in caso affermativo determinarla.
per fare ciò ho svolto i seguenti passaggi: ho sostituto gli autovalori in $ A-lambda_iI $, determinando così il rango della matrice associata ad ogni autovalore, per poter calcolare la molteplicità geometrica e verificare che la base esiste: il risultato è che la base esiste.
ora per calcolarla ho sostituito gli autovalori nell'equazione $ (A-lambda_iI)v=0 $ dove $ v=(x, y, z)^T $ e $ 0=(0,0,0)^T $ trovando $ \mathfrak(B)={(x,0,-2x),(x,y,x)} $.
non so se questa è la forma esatta per esprimere la base trovata.
d) il quarto punto mi chiede di esprimere la matrice di $ f $ rispetto alla base $ \mathfrak(B) $. ora, so che in pratica devo esprimere la matrice come combinazione lineare della base trovata,però in nella pratica non so come potrei fare; ho pensato di scrivere $ ( ( -1/3 , 0 , -2/3 ),( 0 , -1 , 0 ),( -4/3 , 0 , 1/3 ) ) = a ( ( x ),( 0 ),( -2x ) )+b ( ( x ),( y ),( x ) ) $ ma non credo sia corretto.
e) infine mi chiede di dimostrare che f è invertibile ma dovrei saperlo fare.
f) l'ultimo punto mi chiede di scrivere la matrice associata a $ f^-1 $ rispetto alle basi canoniche ma dovrebbe semplice: essa dovrebbe corrispondere alla matrice inversa rispetto a quella associata alle basi canoniche, giusto?
ringrazio in anticipo anche solo per aver letto il messaggio per intero
Risposte
1) Significa che devi prendere, come ha fatto, le basi canoniche sia nel dominio che nel codominio (che mi auguro tu sappia cosa sia). Avrebbe potuto darti basi differenti e allora avresti dovuto procedere, ulteriormente, a determinare matrici di cambiamento di base per scrivere la matrice corretta.
2) corretti.
3) Quello che hai determinato è che gli autovettori per $\lambda=1$ hanno la forma $(x,0,-2x)$ mentre per $\lambda=-1$ la forma $(x,y,x)$. Per determinare una base, devi sostituire i valori di $x,y$ in modo da ottenere vettori fissati. Osserva che
$\{(1,0,-2)\}$ è una base per l'autospazio relativo all'autovalore $1$
$\{(1,0,1),\ (0,1,0)\}$ è una base per l'autospazio relativo all'autovalore $-1$
4) Se hai una decomposizione in somma diretta di autospazi dello spazio su cui agisce l'applicazione data (ed è il tuo caso visto che $RR^3=V_{1}\oplus V_{-1}$ allora la matrice, espressa in relazione alle basi degli autospazi, assume una forma molto, molto, molto bella, che è?
5) Una volta che hai scritto la matrice come al punto precedente dimostrare che è invertibile è facile
6) per calcolare l'inversa rispetto alla base canonica, piuttosto che metterti a fare calcoli senza senso, puoi ragionare così: indica con $P$ la matrice che ha, sulle colonne, i vettori di base degli autospazi. Allora se $F$ è la matrice di $f$ nella base canonica e $\tilde{F}$ quella ricavata al punto 4) si ha $\tilde{F}=P^{-1} F P$. Facendo un po' di conti si trova (ti invito a farlo) che $F^{-1}=P \tilde{F}^{-1} P^{-1}$.
2) corretti.
3) Quello che hai determinato è che gli autovettori per $\lambda=1$ hanno la forma $(x,0,-2x)$ mentre per $\lambda=-1$ la forma $(x,y,x)$. Per determinare una base, devi sostituire i valori di $x,y$ in modo da ottenere vettori fissati. Osserva che
$\{(1,0,-2)\}$ è una base per l'autospazio relativo all'autovalore $1$
$\{(1,0,1),\ (0,1,0)\}$ è una base per l'autospazio relativo all'autovalore $-1$
4) Se hai una decomposizione in somma diretta di autospazi dello spazio su cui agisce l'applicazione data (ed è il tuo caso visto che $RR^3=V_{1}\oplus V_{-1}$ allora la matrice, espressa in relazione alle basi degli autospazi, assume una forma molto, molto, molto bella, che è?
5) Una volta che hai scritto la matrice come al punto precedente dimostrare che è invertibile è facile
6) per calcolare l'inversa rispetto alla base canonica, piuttosto che metterti a fare calcoli senza senso, puoi ragionare così: indica con $P$ la matrice che ha, sulle colonne, i vettori di base degli autospazi. Allora se $F$ è la matrice di $f$ nella base canonica e $\tilde{F}$ quella ricavata al punto 4) si ha $\tilde{F}=P^{-1} F P$. Facendo un po' di conti si trova (ti invito a farlo) che $F^{-1}=P \tilde{F}^{-1} P^{-1}$.
comunque generalmente si usa la formula del cambio di base: detta \(\displaystyle C \) la matrice di passaggio dalla base canonica alla base data e \(\displaystyle C^-1 \) la matrice di passaggio dalla base data alla base canonica allora la matrice associata alla funzione rispetto alla base canonica è \(\displaystyle CMC^-1 \) con \(\displaystyle M \) matrice associata alla funzione rispetto alla base data
allora...
1) ok..
2) ok
3) ho capito, io avevo determinato come sono fatti gli autovettori relativi agli autovalori e da lì per ottenere le relative basi assegno valori e unendoli trovo la base $ \mathfrak(B)={(1,0-2),(1,0,1),(0,1,0)} $ (per scrupolo ho verificato che i tre vettori sono linearmente indipendenti).
4) non ti seguo in questo punto...so cos'è la somma diretta ma non la decomposizione in somma diretta di autospazi...
5)prima devo capire il punto 4
6)idem come sopra
[edit] abbax: a quale parte dell'esercizio ti riferisci? [/edit]
grazie
1) ok..
2) ok
3) ho capito, io avevo determinato come sono fatti gli autovettori relativi agli autovalori e da lì per ottenere le relative basi assegno valori e unendoli trovo la base $ \mathfrak(B)={(1,0-2),(1,0,1),(0,1,0)} $ (per scrupolo ho verificato che i tre vettori sono linearmente indipendenti).
4) non ti seguo in questo punto...so cos'è la somma diretta ma non la decomposizione in somma diretta di autospazi...
5)prima devo capire il punto 4
6)idem come sopra
[edit] abbax: a quale parte dell'esercizio ti riferisci? [/edit]
grazie
parte d...trovata quella matrice la e la f vengono da se (per la e basta vedere il determinante mentre per la f basta fare l'inversa se il determinante ti viene diverso da zero)
Ah ultima cosa: cambiando di base la dimensione della matrice non varia. Mi spiego meglio: se, come nel tuo caso, la matrice rispetto ad una base è composta da righe indipendenti, allora anche la matrice rispetto alla base canonica sarà composta da righe indipendenti
Ah ultima cosa: cambiando di base la dimensione della matrice non varia. Mi spiego meglio: se, come nel tuo caso, la matrice rispetto ad una base è composta da righe indipendenti, allora anche la matrice rispetto alla base canonica sarà composta da righe indipendenti
"abbax":
se, come nel tuo caso, la matrice rispetto ad una base è composta da $ ul(righe) $ indipendenti, allora anche la matrice rispetto alla base canonica sarà composta da righe indipendenti
capito tutto a parte quel righe: io ho inserito i vettori che formano la base come colonne della matrice. ora, in questo caso ho che le righe della stessa sono indipendenti ma ti chiedo è sempre verificato o il mio è un caso che se le colonne della matrice sono vettori linearmente indipendenti anche le righe lo siano? (chiedo scusa per l'ignoranza ma ho cercato anche sul mio libro ma non c'è nulla del genere, anche perchè il mio è un esame da 4 crediti e non affrontiamo gli argomenti in modo approfondito)
si hai ragione mi sono espresso male 
Per essere più corretti (almeno secondo il mio prof) andrebbe visto se la matrice ha rango pieno, il che vuol dire che colonne (e righe) sono indipendenti. Infatti il rango colonna e il rango riga (ossia quelli ottenuti "semplificando" colonne e righe rispettivamente) sono sempre uguali.
Per essere più corretti (almeno secondo il mio prof) andrebbe visto se la matrice ha rango pieno, il che vuol dire che colonne (e righe) sono indipendenti. Infatti il rango colonna e il rango riga (ossia quelli ottenuti "semplificando" colonne e righe rispettivamente) sono sempre uguali.
perfetto...ora attendo la risposta da ciampax e poi posso completare l'esercizio in tutta tranquillità...
Se gli autovalori di una matrice sono tali per cui la loro molteplicità algebrica (come soluzioni del polinomio caratteristico) coincide con la molteplicità geometrica (la dimensione del relativo autospazio) allora lo spazio di partenza si decompone in somma diretta di tali autospazi (e le basi risultano indipendenti tra loro. In tal caso, la matrice che rappresenta quella originale si può esprimere in una forma magnifica e utilissima rispetto alla base fornita da tutti i vettori di base degli autospazi. Qual è la forma di questa matrice?
ora ho capito il tuo ragionamento, compresa la decomposizione in somma diretta dei relativi autospazi ma anche dopo aver cercato su diverse fonti (tra cui l'indispensabile algebralinearefordummies) non so dare una risposta alla tua domanda. se riesci a spiegarmi o indicarmi dove posso trovare il materiale che mi è necessario per capire questa parte te ne sarei infinitamente grato!
Mai sentito dire "diagonalizzare una matrice"?????????
ah ora ho capito...stai parlando della matrice diagonale!
Alleluja Alleluja!
[edit] Grazie infinite per l'aiuto ad entrambi, mi hai salvato![\edit]
Prego, è stato un piacere. Quando hai bisogno, chiama!
Ciao, ascolta ho ancora qualche dubbio riguardo lo "scrivere la matrice di f rispetto alla base B" che ho identificato essere B={(1,0,-2),(1,0,1),(0,1,0)}. riguardo a quanto mi dici non capisco cosa c'entra la diagonalizzazione della matrice visto che la matrice diagonale la ottengo moltiplicando P^-1*A*P dove, correggimi se sbaglio, P è la matrice composta da autovettori per f, A è la mia matrice ma rientrano nel prodotto scritto sopra.
per scrivere la matrice rispetto alla base B, dato che ho la f definita, posso calcolare gli f(b1), f(b2) ed f(b3) ma ciò che ottengo non è una matrice diagonale. ti chiedo scusa... credevo di aver capito invece ho ancora qualche dubbio!
per scrivere la matrice rispetto alla base B, dato che ho la f definita, posso calcolare gli f(b1), f(b2) ed f(b3) ma ciò che ottengo non è una matrice diagonale. ti chiedo scusa... credevo di aver capito invece ho ancora qualche dubbio!
Per definizione, la matrice in forma diagonale è la matrice scritta rispetto alla base degli autovettori. Rileggi un po' la teoria.
Ah ok ora tutto torna. devo essermi perso questo concetto...riguardo! Grazie ancora
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