Scrivere l'equazione di un cono

[Plutone01]

Potreste aiutarmi a scrivere l'equazione del cono che proietta la seguente curva dall'origine?

Curva
$x=t^3-t^2$

$y=t$

$z=t^2$

è sufficiente il risultato ed una breve spiegazione della procedura seguita.

Grazie

[franced]

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[Plutone01]

"franced":Prova ad impostare la soluzione.

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So che per definizione il cono cercato rappresente l'insieme delle rette passanti per il vertice V(0,0,0) secanti la direttrice.

La generica equazione della retta passante per V ha la seguente forma parametrica
$x=a+(x0-a)t$

$y=b+(y0-b)t$

$z=c+(z0-c)t$

quindi nel nostro caso

$x=x0*t$

$y=y0*t$

$z=z0*t$

ora dovrei sostituire le coordinate della generica generatrice nelle equazioni della direttrice da cui ho eliminato il parametro:
-direttrice con parametro eliminato-

$x=y^3-y^2$

$z=y^2$

ottenendo

$x*t=y^3*t^3-y^2*t^2$

$z*t=y^2*t^2$

ora devo cercare di eliminare il parametro

ricavo dalla seconda

$t*(y^2*t-z)=0$

da cui i valori $t=0$ e $t=z/y^2$

sostituendo il valore $t=z/y^2$ nella $x*t=y^3*t^3-y^2*t^2$ ottengo

$y^4*(xz)=y^3*z^3-y^4*z^2$

che dovrebbe rappresentare il cono cercato.

Non sono in grado di dire se sia un cono oppure no. Dove sbaglio?

[Quinzio]

E' certo che sia un cono.

Ma e' di sezione ellittica ed e' inclinato su tutti gli assi, per cui trovare la sua equazione non e' una passeggiata.

[franced]

Non ho fatto i calcoli, ma l'equazione cartesiana

$x y^4 z - y^3 z^3 + y^4 z^2 = 0$

è corretta perché, tanto per cominciare è omogenea ed inoltre,
sostituendovi le equazioni parametriche della curva iniziale,
si ottiene l'identità $0=0$
(in pratica ogni punto della curva sta anche sulla superficie).