Scrivere l'equazione dell'iperbole avendo i fuochi
Salve a tutti ragazzi... sono bloccata con questo esercizio, qualcuno mi sa dare una mano?
Scrivere l'equazione dell'iperbole avente come fuochi \(A(1,2)\) e \(B(3,0)\) e passante per \(C(\frac{5}{2}\,0) \).
poi c'è da studiare il fascio di coniche dato da questa iperbole con una circonferenza, ma quello riesco penso........se trovo l'iperbole!
Ho pensato che forse devo trovare la retta passante per A e B, e dovrebbe essere \(x+y-3\); trovarne la perpendicolare passante per il punto medio e considerarla come asse di simmetria, e mi viene \(x-y-1\); e poi, credo, considero le rette isotrope uscenti da uno dei due fuochi e le uso per scrivere il fascio: \[ (x-1)(y-2) +k (x-y-1)^2 =0 \]
Dopo di che trovo k imponendo il passaggio per \(C(\frac{5}{2}\,0) \). Solo che...non so ho la sensazione di sbagliare trutto....
Scrivere l'equazione dell'iperbole avente come fuochi \(A(1,2)\) e \(B(3,0)\) e passante per \(C(\frac{5}{2}\,0) \).
poi c'è da studiare il fascio di coniche dato da questa iperbole con una circonferenza, ma quello riesco penso........se trovo l'iperbole!
Ho pensato che forse devo trovare la retta passante per A e B, e dovrebbe essere \(x+y-3\); trovarne la perpendicolare passante per il punto medio e considerarla come asse di simmetria, e mi viene \(x-y-1\); e poi, credo, considero le rette isotrope uscenti da uno dei due fuochi e le uso per scrivere il fascio: \[ (x-1)(y-2) +k (x-y-1)^2 =0 \]
Dopo di che trovo k imponendo il passaggio per \(C(\frac{5}{2}\,0) \). Solo che...non so ho la sensazione di sbagliare trutto....
Risposte
Nessuno sa aiutarmi? 
Ciao. Provare a usare la definizione di iperbole? $|PA-PB|=2a$, sostituisci subito le coordinate di $C$ per trovare $a$ e poi svolgi i calcoli. A me risulta: $2xy-2x-4y+5=0$, salvo possibilissimi miei errori.
ma usando i fasci non si può fare?
avevo pensato a usare la definizione, ma non credo che il prof l'avrebbe gradita...lui vuole i fasci...
avevo pensato a usare la definizione, ma non credo che il prof l'avrebbe gradita...lui vuole i fasci...
Sinceramente non lo so, puoi sempre usare il metodo che ti ho indicato (rifacendo i conti perchè io li ho fatti un po' di fretta e non garantisco) se non altro per vedere se arrivi alla stessa soluzione che ottieni da quel fascio.
Se per caso i miei calcoli sono corretti, però, è un po' difficile che i risultati possano collimare, visto che dal fascio che hai generato saltano fuori anche termini quadrati in $x$ e $y$.
Se per caso i miei calcoli sono corretti, però, è un po' difficile che i risultati possano collimare, visto che dal fascio che hai generato saltano fuori anche termini quadrati in $x$ e $y$.
Costruisci il fascio bitangente nei fuochi e con la conica doppiamente degenere nella retta all'infinito $z=0$. Ottieni allora
$(y-1)(x-2)+kz^2=0$. Sostituendo le coordinate di $C$ (ove essendo un punto proprio $z=1$) e si ha $k=1/2$ da cui l'equazione $(y-1)(x-2)+1/2=0$ e quindi facendo i calcoli $2xy-4y-2x+5=0$.
La conica doppiamente genere non è costituito dall'asse, ma dalla retta che congiunge i punti all'infinito delle due rette isotrope, appunto la retta impropria.
$(y-1)(x-2)+kz^2=0$. Sostituendo le coordinate di $C$ (ove essendo un punto proprio $z=1$) e si ha $k=1/2$ da cui l'equazione $(y-1)(x-2)+1/2=0$ e quindi facendo i calcoli $2xy-4y-2x+5=0$.
La conica doppiamente genere non è costituito dall'asse, ma dalla retta che congiunge i punti all'infinito delle due rette isotrope, appunto la retta impropria.
Consideriamo il Fuoco \( A=(1,2)\) la relativa direttrice è perpendicolare alla retta focale e avrà dunque equazione \( x-y+h=0\)
Le rette isotrope uscenti dal fuoco sono \( y-2\pm i(x-1)=0\)
L'iperbole appartiene dunque al fascio di coniche bitangenti:
\( \lambda [(x-1)^2+(y-2)^2]+(x-y+h)^2=0\)
\( (\lambda+1)x^2+(\lambda+1)^2-2xy+2(h-\lambda)x-2(h+2 \lambda)y+5 \lambda+h^2=0\)
Consideiamo la retta isotropa uscenti dal fuoco \( B=(3,0)\)
\( y= i(x-3)\)
Intersechiamo con il fascio:
\(-2 i x^2 +2[3(1+i)+(1-i)h+2(1-i)\lambda]x+h^2-6 i (-h-2 \lambda)+4 \lambda-9(1+\lambda)=0 \)
Il discriminante è:
\(\Delta=-32 i \lambda - 32 i h \lambda - 32 i \lambda^2\)
La condizione di tangenza è:
\( \lambda^2+h \lambda+\lambda=0\)
Da cui:
\( \lambda = 0\) che ci dà una parabola degenere che non ci interessa;
\( 1) \lambda+h+1=0\)
La condizione di passaggio per il punto \( C \) ci dà l'equazione:
\( 2) 25 + 20 h + 4 h^2 + 25 \lambda=0\)
Il sistema \( 1) ,2)\) ha le soluzioni:
\( \lambda=-1, h=0\) a cui corrisponde la conica \( 2xy-2x-4y+5=0\) che è l'iperbole richiesta
e \( \lambda = -\frac{9}{4}, h =\frac{ 5}{4}\) a cui corrisponde l'ellisse \(20x^2+32xy+20y^2-112x-104y+155=0 \)
Le rette isotrope uscenti dal fuoco sono \( y-2\pm i(x-1)=0\)
L'iperbole appartiene dunque al fascio di coniche bitangenti:
\( \lambda [(x-1)^2+(y-2)^2]+(x-y+h)^2=0\)
\( (\lambda+1)x^2+(\lambda+1)^2-2xy+2(h-\lambda)x-2(h+2 \lambda)y+5 \lambda+h^2=0\)
Consideiamo la retta isotropa uscenti dal fuoco \( B=(3,0)\)
\( y= i(x-3)\)
Intersechiamo con il fascio:
\(-2 i x^2 +2[3(1+i)+(1-i)h+2(1-i)\lambda]x+h^2-6 i (-h-2 \lambda)+4 \lambda-9(1+\lambda)=0 \)
Il discriminante è:
\(\Delta=-32 i \lambda - 32 i h \lambda - 32 i \lambda^2\)
La condizione di tangenza è:
\( \lambda^2+h \lambda+\lambda=0\)
Da cui:
\( \lambda = 0\) che ci dà una parabola degenere che non ci interessa;
\( 1) \lambda+h+1=0\)
La condizione di passaggio per il punto \( C \) ci dà l'equazione:
\( 2) 25 + 20 h + 4 h^2 + 25 \lambda=0\)
Il sistema \( 1) ,2)\) ha le soluzioni:
\( \lambda=-1, h=0\) a cui corrisponde la conica \( 2xy-2x-4y+5=0\) che è l'iperbole richiesta
e \( \lambda = -\frac{9}{4}, h =\frac{ 5}{4}\) a cui corrisponde l'ellisse \(20x^2+32xy+20y^2-112x-104y+155=0 \)
quindi quell' \((x-y-1)^2\) era l'errore...che nabba...
pallitt come vedi col metodo dei fasci risulta come a te, lo stesso... grazie a tutti...
pallitt come vedi col metodo dei fasci risulta come a te, lo stesso... grazie a tutti...
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