Scrivere la matrice rispetto una base ortonormale

[m175]

Salve a tutti, ho problemi per la risoluzione di un esercizio.
Ecco a voi il testo:
Sia V lo spazio dei vettori liberi e sia B={i,j,k} una base di V ortonormale e positivamente orientata, sia f \ in End(V) definito da f(v)=(v \wedge i) <(2j+k) \wedge (2k-3i),i+j+k>; scrivere la matrice di f rispetto alla base B in partenza e in arrivo.

Inizio facendo il prodotto vettoriale: $((i,j,k),(0.2,1),(-3,0,2))$=(4,3,6)
Faccio il prodotto scalare e ottengo: 4i+3j-6k. Dopo di che imposto una generica v=(x,y,z) e faccio il prodotto vettoriale con la i. Il risultato è 3z-6y.
Please help me, non so dove sbaglio!!!
Grazie a chiunque sia d'aiuto.

[apatriarca]

Come è possibile che il risultato del tuo prodotto scalare sia un vettore e non uno scalare? A me il prodotto vettoriale comunque viene \((4, -3, 6)\)..

[m175]

Si hai ragione, nel trascriverlo mi sono persa un meno. il mio dubbio è proprio quello, perché nel momento in cui ho fatto i vari calcoli non ottengo uno scalare? Che sbaglio?

[apatriarca]

Perché nella stessa espressione tratti i, j e k diversamente? Nel prodotto vettoriali sono semplicemente i vettori della base ma sono poi diventate delle variabili nel prodotto scalare. Il vettore i + j + k è semplicemente (1, 1, 1) e quindi il risultato sarà 4 -3+6=7..

[m175]

Capito, grazie mille. Ho provato a continuare l'esercizio e ho un ultimo dubbio.
Vado a calcolare il prodotto vettoriale tra un generico vettore v e i. E ottengo: z-y. Moltiplico poi per 7 ed ottengo 7z-7y, che è uguale a z=y. Nel momento in cui vado a scrivere la matrice rispetto alla base canonica ho: $((0,0,0),(0,1,0),(0,0,1))$ , è corretto?