Scrittura endomorfismo

[TheNightFox]

In un esercizio ho trovato un endomorfismo di $RR^3$ definito in questo modo:

$f: (e_1+e_2)= 2_e_1+2e_2,$
$f: (e_1-e_2)= 2_e_1-2e_3,$
$f: (e_1+e_2+e_3)= e_2+e_3$

Per scrivere la matrice associata, immagino di dover scrivere tutto nella forma

$f: (e_1)=$ ...
$f: (e_2)=$ ...
$f: (e_3)=$ ...

ma non so proprio come fare e non so se è necessario.
Probabilmente è una domanda stupida quindi chiedo scusa in anticipo.

[TheNightFox]

può essere così?



$f: RR^3 \to RR^3$ $f: ( (x,y,z) ) = (0; 2x+2y-z; -2x-y+2z)$

[franced]

$f: (e_1+e_2) = 2 e_1 + 2e_2,$
$f: (e_1-e_2) = 2 e_1 - 2e_3,$
$f: (e_1+e_2+e_3) = e_2 + e_3$

Prova per prima cosa a sommare le prime due equazioni.

[TheNightFox]

Chiedo scusa ma ho sbagliato a scrivere..

la seconda equazione è così:

$f: (e_1-e_3)= 2e_1-2e_3$

[franced]

Allora facciamo ordine:

$f(e_1 + e_2) = 2 e_1 + 2e_2$
$f(e_1 - e_3) = 2 e_1 - 2 e_3$
$f(e_1+e_2+e_3) = e_2+e_3$

la matrice che rappresenta l'endomorfismo $f$ si ottiene nel modo seguente:

[tex]\left( \begin{array}{ccc}
2 & 2 & 0 \\
2 & 0 & 1 \\
0 & -2 & 1
\end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 \\
0 & -1 & 1
\end{array} \right)^{-1} = \left( \begin{array}{ccc}
0 & 2 & -2 \\
-1 & 3 & -1 \\
-1 & 1 & 1
\end{array} \right)[/tex]

[TheNightFox]

Ma quindi c'è una specie di regola?

[franced]

"TheNightFox":Ma quindi c'è una specie di regola?

Certo.

[ImpaButty]

Franced: la prima matrice che hai scritto non deve essere così? $((2,2,0),(1,0,1),(0,-2,1))$

[TheNightFox]

no è che manca un due nella prima equazione

[franced]

"ImpaButty":Franced: la prima matrice che hai scritto non deve essere così? $((2,2,0),(1,0,1),(0,-2,1))$

No, la matrice che ho scritto è corretta.