Scomposizione in fratti semplici, the hard way
L'esistenza di una decomposizione in fratti semplici è la maniera di spiegare questo fatto: supponiamo \(Q\) sia un polinomio di grado \(n\) a coefficienti in un campo \(K\), e supponiamo che
\[a(X-c_1)^{m_1}(X-c_2)^{m_2}\cdots (X - c_r)^{m_r}\] sia la sua decomposizione (completa) in fattori lineari, cioè che \(Q\) abbia tutte le radici in \(K\), eventualmente ripetute.
Definiamo ora lo spazio vettoriale \(V=\frac{K[X]}{Q}\) come l'insieme delle funzioni razionali \(P(X)/Q(X)\) al variare di \(P\in K[X]\) un polinomio di grado minore di \(n\).
Fatto: \(V\) è uno spazio vettoriale di dimensione \(n\), generato da \(\{\frac{1}{Q},\frac{X}{Q},\frac{X^2}{Q},\dots \frac{X^{n-1}}{Q}\}\). Questo è facile da dimostrare; tuttavia questa non è la base che si usa di solito nella decomposizione in fratti semplici di una funzione razionale; invece, si usa decomporre un generico elemento di \(V\) come somma
\[\frac{d_{1,1}}{X-c_1} +\dots+ \frac{d_{1,m_1}}{(X-c_1)^{m_1}} + \dots + \frac{d_{r,1}}{X-c_r} +\dots+ \frac{d_{r,m_r}}{(X-c_1)^{m_r}}\] usando cioè la base \(\{\frac{1}{(X-c_i)^{j_i}} \mid 1\le i\le r, 1\le j_i \le m_i\}\).
Mi ha sorpreso come mostrare che questa è una base sembri un processo abbastanza laborioso; la tesi è infatti equivalente a dimostrare che, dato \(Q\) come sopra, i polinomi che si ottengono cancellando da Q le potenze crescenti dei suoi fattori lineari irriducibili formino una base di \(K[X]\); più formalmente, definendo \(Q_{[i,j_i]} := \frac{Q(X)}{(X-c_i)^{j_i}} \in K[X]\), bisogna mostrare che \(\{Q_{[i, j_i]}\mid 1\le i\le r, 1\le j_i\le m_i\}\) è una base.
Il fatto che questi vettori siano linearmente indipendenti si ottiene astraendo da un esempio concreto: valutando \(Q_{[i,j_i]}\) in una delle radici di \(Q\), alcuni termini (esattamente quelli che sono stati divisi per una potenza massima dell'$i$-esimo fattore lineare \(X-c_i\)) non si annullano lì, e quindi da una generica scrittura \(\sum \alpha_{i, j_i}Q_{[i, j_i]}=0\) ottengo che certi coefficienti sono zero; ora, li tolgo dalla sommatoria, che a questo punto è divisibile per \(s(X)=(X-c_1)\cdots(X-c_r)\)... e a questo punto ripeto il ragionamento con il polinomio \(t(X)\) tale che \(\sum \alpha_{i, j_i}Q_{[i, j_i]}=s(X)t(X)=0\). Ad un certo punto devo aver finito i coefficienti.
Ora però, questo metodo non si presta a ragionare su un $K$ di caratteristica qualsiasi (potrei essere sfortunato e avere che \(Q_{[i, j_i]}(c_k)\equiv 0\) modulo p); e dimostrare che questi vettori sono anche generatori, sebbene formalmente possa essere evitato col vecchio trucco "una endofunzione di un insieme finito in sé è iniettiva se e solo se è suriettiva", mi sembra ancora più difficile.
Tanto più che questo (riscoprire questo metodo in forza di un risultato di algebra lineare) è un esercizio che è stato dato in un testo di algebra lineare nel capitolo che introduce gli spazi vettoriali, quindi, per sadico che sia, deve potersi fare "elementarmente".
C'è modo di usare il cervello, ossia di fare matematica e non conti?
\[a(X-c_1)^{m_1}(X-c_2)^{m_2}\cdots (X - c_r)^{m_r}\] sia la sua decomposizione (completa) in fattori lineari, cioè che \(Q\) abbia tutte le radici in \(K\), eventualmente ripetute.
Definiamo ora lo spazio vettoriale \(V=\frac{K[X]}{Q}\) come l'insieme delle funzioni razionali \(P(X)/Q(X)\) al variare di \(P\in K[X]\) un polinomio di grado minore di \(n\).
Fatto: \(V\) è uno spazio vettoriale di dimensione \(n\), generato da \(\{\frac{1}{Q},\frac{X}{Q},\frac{X^2}{Q},\dots \frac{X^{n-1}}{Q}\}\). Questo è facile da dimostrare; tuttavia questa non è la base che si usa di solito nella decomposizione in fratti semplici di una funzione razionale; invece, si usa decomporre un generico elemento di \(V\) come somma
\[\frac{d_{1,1}}{X-c_1} +\dots+ \frac{d_{1,m_1}}{(X-c_1)^{m_1}} + \dots + \frac{d_{r,1}}{X-c_r} +\dots+ \frac{d_{r,m_r}}{(X-c_1)^{m_r}}\] usando cioè la base \(\{\frac{1}{(X-c_i)^{j_i}} \mid 1\le i\le r, 1\le j_i \le m_i\}\).
Mi ha sorpreso come mostrare che questa è una base sembri un processo abbastanza laborioso; la tesi è infatti equivalente a dimostrare che, dato \(Q\) come sopra, i polinomi che si ottengono cancellando da Q le potenze crescenti dei suoi fattori lineari irriducibili formino una base di \(K[X]\); più formalmente, definendo \(Q_{[i,j_i]} := \frac{Q(X)}{(X-c_i)^{j_i}} \in K[X]\), bisogna mostrare che \(\{Q_{[i, j_i]}\mid 1\le i\le r, 1\le j_i\le m_i\}\) è una base.
Il fatto che questi vettori siano linearmente indipendenti si ottiene astraendo da un esempio concreto: valutando \(Q_{[i,j_i]}\) in una delle radici di \(Q\), alcuni termini (esattamente quelli che sono stati divisi per una potenza massima dell'$i$-esimo fattore lineare \(X-c_i\)) non si annullano lì, e quindi da una generica scrittura \(\sum \alpha_{i, j_i}Q_{[i, j_i]}=0\) ottengo che certi coefficienti sono zero; ora, li tolgo dalla sommatoria, che a questo punto è divisibile per \(s(X)=(X-c_1)\cdots(X-c_r)\)... e a questo punto ripeto il ragionamento con il polinomio \(t(X)\) tale che \(\sum \alpha_{i, j_i}Q_{[i, j_i]}=s(X)t(X)=0\). Ad un certo punto devo aver finito i coefficienti.
Ora però, questo metodo non si presta a ragionare su un $K$ di caratteristica qualsiasi (potrei essere sfortunato e avere che \(Q_{[i, j_i]}(c_k)\equiv 0\) modulo p); e dimostrare che questi vettori sono anche generatori, sebbene formalmente possa essere evitato col vecchio trucco "una endofunzione di un insieme finito in sé è iniettiva se e solo se è suriettiva", mi sembra ancora più difficile.
Tanto più che questo (riscoprire questo metodo in forza di un risultato di algebra lineare) è un esercizio che è stato dato in un testo di algebra lineare nel capitolo che introduce gli spazi vettoriali, quindi, per sadico che sia, deve potersi fare "elementarmente".
C'è modo di usare il cervello, ossia di fare matematica e non conti?
Risposte
Un modo è usare il teorema cinese del resto: \(K[x]/Q\) è isomorfo come $K$-algebra (e quindi anche come spazio vettoriale) a \(\prod K[x]/(x-c_i)^{m_i}\). Tramite questo isomorfismo hai che \(Q/(x-c_i)^{j_j}\) finisce dentro l'i-esimo fattore della decomposizione; ti riduci a dimostrare che gli $(x-c_i)^j$ sono linearmente indipendenti dentro a \(K[x]/(x-c_i)^{m_i}\), il che è praticamente ovvio.
Sì, è una buona risposta. Mi resta il dubbio se si possa veramente fare in maniera elementare, and yet.
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