Scomposizione del vettore in vari sistemi di riferimento.
Una chiarificazione a proposito di una cosa che mi ha detto il professore. Sarà banale, ma in ogni caso preferisco provare quantomeno a chiarirmi le idee.
Allora, io so che il coordinato di un vettore $u in V$ dipende dalla base scelta per $K^n$. Il professore poi ha aggiunto che la base scelta determina un sistema di riferimento, e quindi in più sistemi di riferimento differenti uno stesso vettore ha coordinati diversi, anche se della stessa dimensione.
Chiedo, a questo punto, varie cose:
1)Il sistema è monometrico e ortogonale (spazio cartesiano per quanto riguarda vettori tridimensionali) solo nel caso della base canonica (c'è un po' di confusione nelle mie parole, faccio conto che gli elementi della base siano i versori di uno spazio di vettori applicati in un unico punto O)?
2)Se sì, cioè se è vera la (1), come si fa a scomporre un vettore geometrico qualsiasi applicato in un punto, negli altri casi, ossia in sistemi di riferimento non ortogonali? Esattamente allo stesso modo, ossia proiettando il punto libero del vettore sul piano individuato da due assi etc. etc. ?
Scusate se c'è molta confusione nelle mie parole, ma sono ancora a un livello troppo basso. Se queste non fossero chiare, proverò a riprendere il discorso più tardi.
Allora, io so che il coordinato di un vettore $u in V$ dipende dalla base scelta per $K^n$. Il professore poi ha aggiunto che la base scelta determina un sistema di riferimento, e quindi in più sistemi di riferimento differenti uno stesso vettore ha coordinati diversi, anche se della stessa dimensione.
Chiedo, a questo punto, varie cose:
1)Il sistema è monometrico e ortogonale (spazio cartesiano per quanto riguarda vettori tridimensionali) solo nel caso della base canonica (c'è un po' di confusione nelle mie parole, faccio conto che gli elementi della base siano i versori di uno spazio di vettori applicati in un unico punto O)?
2)Se sì, cioè se è vera la (1), come si fa a scomporre un vettore geometrico qualsiasi applicato in un punto, negli altri casi, ossia in sistemi di riferimento non ortogonali? Esattamente allo stesso modo, ossia proiettando il punto libero del vettore sul piano individuato da due assi etc. etc. ?
Scusate se c'è molta confusione nelle mie parole, ma sono ancora a un livello troppo basso. Se queste non fossero chiare, proverò a riprendere il discorso più tardi.
Risposte
esempi semplici..
In ogni modo la base canonica non è l'unico sistema di riferimento ortonormale! Ortonormale= vettori ortogonali e tutti di lunghezza 1.
Per esempio ogni rotazione della base canonica è ancora ortonormale!
esempio: $V=R^2$
base canonica: $[[1],[0]]$ $[[0],[1]]$
rotazione di 90 gradi $[[0],[1]]$ $[[-1],[0]]$
rotazione di 45 gradi $ 1/sqrt(2) [[1],[1]]$ $1/sqrt(2)[[-1],[1]]$
Monometrico non richiede nemmeno che la lunghezza sia 1
$[[8],[0]]$ $[[0],[8]]$ va bene
$[[1],[1]]$ $[[-1],[1]]$ va bene
etc..
L'idea delle proiezioni può funzionare sempre (anche se nel caso di un sistema di riferimento non ortogonale non sono più proiezioni ortogonali).
L'idea generale è che ,se hai n vettori di base, ogni vettore può essere scritto come combinazione lineare di questi. Ossia come somma di multipli dei vettori di base.
esempio:
base canonica: $[[1],[0]]$ $[[0],[1]]$
vettore $v = [[3],[-4]]$
significa
v = $ 3 [[1],[0]] + (-4)[[0],[1]]$
3 e -4 sono le coordinate del vettore rispetto alla base cnonica, ma se cambi la base cambiano le coordinate
In ogni modo la base canonica non è l'unico sistema di riferimento ortonormale! Ortonormale= vettori ortogonali e tutti di lunghezza 1.
Per esempio ogni rotazione della base canonica è ancora ortonormale!
esempio: $V=R^2$
base canonica: $[[1],[0]]$ $[[0],[1]]$
rotazione di 90 gradi $[[0],[1]]$ $[[-1],[0]]$
rotazione di 45 gradi $ 1/sqrt(2) [[1],[1]]$ $1/sqrt(2)[[-1],[1]]$
Monometrico non richiede nemmeno che la lunghezza sia 1
$[[8],[0]]$ $[[0],[8]]$ va bene
$[[1],[1]]$ $[[-1],[1]]$ va bene
etc..
L'idea delle proiezioni può funzionare sempre (anche se nel caso di un sistema di riferimento non ortogonale non sono più proiezioni ortogonali).
L'idea generale è che ,se hai n vettori di base, ogni vettore può essere scritto come combinazione lineare di questi. Ossia come somma di multipli dei vettori di base.
esempio:
base canonica: $[[1],[0]]$ $[[0],[1]]$
vettore $v = [[3],[-4]]$
significa
v = $ 3 [[1],[0]] + (-4)[[0],[1]]$
3 e -4 sono le coordinate del vettore rispetto alla base cnonica, ma se cambi la base cambiano le coordinate
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo