$RR/QQ$
Devo dimostrare che l'unica topologia su $RR/QQ$ è quella banale, dove $x \sim x'$ se e solo se $x-x' in QQ$.
Allora ho studiato il quoziente in questo modo $RR/QQ$ è formato da due elementi $[0]$ e $[x]$ dove nella prima abbiamo tutti elementi razionali e nella seconda tutti elementi irrazionali. A questo punto osservo che ne $pi^-1([0])$ ne $pi^-1([x])$ ha come controimmagine un aperto in $RR$ dato che uno è $QQ$ e l'altro è $RR-QQ$.Dunque l'unico insieme che da come controimmagine un aperto in $RR$ è $RR/QQ$, la topologia sul quoziente è banale.
Funge?
Allora ho studiato il quoziente in questo modo $RR/QQ$ è formato da due elementi $[0]$ e $[x]$ dove nella prima abbiamo tutti elementi razionali e nella seconda tutti elementi irrazionali. A questo punto osservo che ne $pi^-1([0])$ ne $pi^-1([x])$ ha come controimmagine un aperto in $RR$ dato che uno è $QQ$ e l'altro è $RR-QQ$.Dunque l'unico insieme che da come controimmagine un aperto in $RR$ è $RR/QQ$, la topologia sul quoziente è banale.
Funge?
Risposte
Lo studio del quoziente non mi convince.
Nella seconda classe di equivalenza avremmo anche $sqrt2$ e $2sqrt2$, sebbene non siano in relazione poiché la loro differenza
$2sqrt2-sqrt2=sqrt2$ è irrazionale.
Nella seconda classe di equivalenza avremmo anche $sqrt2$ e $2sqrt2$, sebbene non siano in relazione poiché la loro differenza
$2sqrt2-sqrt2=sqrt2$ è irrazionale.
Ummm.......... vediamo allora, diciamo che $RR/ZZ$ è constituito da infinite classi, una di queste chiamiamola classe $[0]$ costituita da tutti i punti razionali le altre $[x]$ sono costituite da un solo punto che è un irrazionale. la controimmagine della prima è $QQ$ che non è un aperto la controimmagine di ogni altre classe è un punto o unione di punti che non sono cmq aperti in $RR$.
Va bene cosi?
Grazie mille.
Va bene cosi?
Grazie mille.
In realtà direi che non può essere nemmeno così: infatti se ad esempio prendi
$sqrt3$ e $sqrt3+1$, essi sono in relazione perché la loro differenza è $1\inmathbb{Q}$ quindi non va bene dire che ogni irrazionale ha una sua classe.
A questo punto potrebbe essere che le classi sono: tutti i razionali, e le infinite classi del tipo
$[sqrt3]={sqrt3+q\quad"t.c"\quadq\inQQ}$ con al posto di $sqrt3$ qualsiasi irrazionale.
Ma non riesco, almeno ad occhio, a dire che così non eslcudo qualche altro inconveniente come quelli che ho visto evidenti nei tuoi due tentativi.
Anzi, spero che qualcuno più competente intervenga per chiarire.
Ciao.
$sqrt3$ e $sqrt3+1$, essi sono in relazione perché la loro differenza è $1\inmathbb{Q}$ quindi non va bene dire che ogni irrazionale ha una sua classe.
A questo punto potrebbe essere che le classi sono: tutti i razionali, e le infinite classi del tipo
$[sqrt3]={sqrt3+q\quad"t.c"\quadq\inQQ}$ con al posto di $sqrt3$ qualsiasi irrazionale.
Ma non riesco, almeno ad occhio, a dire che così non eslcudo qualche altro inconveniente come quelli che ho visto evidenti nei tuoi due tentativi.
Anzi, spero che qualcuno più competente intervenga per chiarire.
Ciao.
Forse così funge perchè riempe $RR$ e le controimmagini sono insiemi di punti............ma in questo modo c'è l'abbiamo la topologia banale???
Avevo fatto un esercizio sul quoziente simile era il seguente:
$RR/ZZ$
In questo caso le classi le avevo studiate $[epsilon]={epsilon+n : epsilon in[0,1), n in ZZ}$ e veniva fuori una topologia non banale...
Avevo fatto un esercizio sul quoziente simile era il seguente:
$RR/ZZ$
In questo caso le classi le avevo studiate $[epsilon]={epsilon+n : epsilon in[0,1), n in ZZ}$ e veniva fuori una topologia non banale...
Provo a scriverlo bene:
Ricordiamo che: la topologia quoziente è la topologia più fine che rende la proiezione continua e che la meno fine è la topologia banale.
Consideriamo quindi la topologia quoziente.
Sia $A$ un aperto non vuoto di $RR//QQ$ che suppongo per assurdo diverso da tutto $RR//QQ$ allora esisterà un elemento $[x]$ e un elemento $[y]$ tali che $[x]\in A$ e $[y]\notin A$.
Siano quindi $x$ e $y$ rappresentanti delle classi $[x]$ e $[y]$. La controimmagine di $A$ in $RR$ (che chiamo $A'$) è un aperto e quindi è un intorno di ogni suo punto. Esisterà quindi un intervallo $I = (x-\gamma,x+\gamma)$ completamente contenuto in $A'$. L'immagine di questo intervallo è contenuta in $A$.
Dato che $QQ$ è denso in $RR$ esisterà un $q in QQ$ tale che $|x-y-q|< gamma$ e quindi $y+q in I$. Ma d'altra parte $y+q in [y]$ e quindi $[y] in pi(I) subseteq A$ che contraddice l'assunzione $[y]\notin A$. Per la generalità di $[y]$ $A$ deve quindi essere tutto $RR//QQ$.
Siccome la topologia quoziente è la più fine e coincide con la topologia banale allora non esistono topologie possibili su $RR//QQ$ che rendano continua la proiezione.
Ricordiamo che: la topologia quoziente è la topologia più fine che rende la proiezione continua e che la meno fine è la topologia banale.
Consideriamo quindi la topologia quoziente.
Sia $A$ un aperto non vuoto di $RR//QQ$ che suppongo per assurdo diverso da tutto $RR//QQ$ allora esisterà un elemento $[x]$ e un elemento $[y]$ tali che $[x]\in A$ e $[y]\notin A$.
Siano quindi $x$ e $y$ rappresentanti delle classi $[x]$ e $[y]$. La controimmagine di $A$ in $RR$ (che chiamo $A'$) è un aperto e quindi è un intorno di ogni suo punto. Esisterà quindi un intervallo $I = (x-\gamma,x+\gamma)$ completamente contenuto in $A'$. L'immagine di questo intervallo è contenuta in $A$.
Dato che $QQ$ è denso in $RR$ esisterà un $q in QQ$ tale che $|x-y-q|< gamma$ e quindi $y+q in I$. Ma d'altra parte $y+q in [y]$ e quindi $[y] in pi(I) subseteq A$ che contraddice l'assunzione $[y]\notin A$. Per la generalità di $[y]$ $A$ deve quindi essere tutto $RR//QQ$.
Siccome la topologia quoziente è la più fine e coincide con la topologia banale allora non esistono topologie possibili su $RR//QQ$ che rendano continua la proiezione.
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