$RR^n-{0}~S^1$
Mi spiegate perchè vale la seguente:
$RR^n-{0}~S^1$
$RR^n-{0}~S^1$
Risposte
"squalllionheart":
Mi spiegate perchè vale la seguente:
$RR^n-{0}~S^1$
Cosa intendi con "$~$" ?
In effetti i due insiemi non sono omeomorfi
Pero' $\Psi:RR^n-{0}$ definita da $\Psi(x)=\frac{x}{|x|}$ e' un'equivalenza omotopica.
lo puoi scrivere meglio l'omeomorfismo? nel senso che prendo un punto a n componenti ed l'omeomorfismodovrebbe mandarlo in un punto di $RR^2$.
P.s.
Se i due oggetti sono omeomorfi anche $RR^-{0}$ ha come gruppo fondamentale la circonferenza?
P.s.
Se i due oggetti sono omeomorfi anche $RR^-{0}$ ha come gruppo fondamentale la circonferenza?
Ripeto che (evidentemente) i due insiemi NON sono omeomorfi (ehhm confesso che in un raptus l'avevo scritto ma ho cancellato il messaggio dopo un minuto).
Invece hanno lo stesso gruppo fondamentale in quanto sono omotopicamente equivalenti. Infatti $\Psi:RR^n-{0}to S^1$ definita da $\Psi(x)=x/|x|$ e $\Phi:S^1\to RR^n-{0}$
definita da $\Phi(x)=x$ sono l'una inversa omotopica dell'altra perche' $\Psi\circ\Phi$ e' l'identita' su $S^1$ mentre $\Phi\circ\Psi$ e' omotopa all'identita' su $RR^n-{0}$
come si vede considerando l'omotopia $H(x,t):=(t-1)x+t\frac{x}{|x|}$.
Scusa se eventualmente ti ho confuso col messaggio che ho immediatamente cancellato.
Invece hanno lo stesso gruppo fondamentale in quanto sono omotopicamente equivalenti. Infatti $\Psi:RR^n-{0}to S^1$ definita da $\Psi(x)=x/|x|$ e $\Phi:S^1\to RR^n-{0}$
definita da $\Phi(x)=x$ sono l'una inversa omotopica dell'altra perche' $\Psi\circ\Phi$ e' l'identita' su $S^1$ mentre $\Phi\circ\Psi$ e' omotopa all'identita' su $RR^n-{0}$
come si vede considerando l'omotopia $H(x,t):=(t-1)x+t\frac{x}{|x|}$.
Scusa se eventualmente ti ho confuso col messaggio che ho immediatamente cancellato.
"ViciousGoblin":
Scusa se eventualmente ti ho confuso col messaggio che ho immediatamente cancellato.
Niente
Avevo letto il primo Dato che pendo dalle tue labbra;)Possiamo chiarire questa parte dei miei appunti che sono confusi e hanno dei buchi:
$RR^n-\text {iperpiano}~{\text{2 punti}}$
$RR^3-\text {iperpiano}~{?}$
$RR^2-\text {iperpiano}~{?}$
Inoltre mi confermi la seguente relazione:
$RR^3-{\text{retta}}~RR^2-{\text{un punto}}~S^1$
inoltre se i tre oggetti sono omotopi posso dire che hanno tutti e tre come gruppo fonfamentale $(ZZ,+)$?
Dato che l'omotopia è una relazine d'equivalenza.
"squalllionheart":
[quote="ViciousGoblin"] Scusa se eventualmente ti ho confuso col messaggio che ho immediatamente cancellato.
Niente
Avevo letto il primo Dato che pendo dalle tue labbra;)[/quote]
Non ci si puo' distrarre un momento
"squalllionheart":
Possiamo chiarire questa parte dei miei appunti che sono confusi e hanno dei buchi:
$RR^n-\text {iperpiano}~{\text{2 punti}}$
$RR^3-\text {iperpiano}~{?}$
$RR^2-\text {iperpiano}~{?}$
Se con iperpiano intendi uno spazio lineare (o affine) di codimensione uno (cioe' di dimesione $n-1$) allora sempre due punti trovi. D'altra parte la seconda e la terza riga sono un caso
particolare della prima (e allora l'iperpiano di $RR^2$ e' una retta). Oppure cosa intendi con iperpiano ?
Per dimostrarlo (mi pare che ti interessi questo) consideriamo per esempio il caso in cui l'iperpiano e' quello di equazione ${x_n=0}$ . Allora $RR^n-"iperpiano"=A\cup B$ dove
$A={x\in RR^n:x_n>0}$ e $B={x\in RR^n:x_n<0}$ - inoltre $A$ e $B$ sono due componenti connesse di $RR^n-"iperpiano"$.
Mostriamo che $A$ e' omotopicamente equivalente a un punto, per esempio $P=(0,...,0,1)$. Per farlo si "deforma" $A$ a ${P}$ mediante l'omotopia $H^+(x,t)=(t-1)x+tP$ (ti lascio i dettagli - se hai problemi
dimmelo). Analogamente $B$ si deforma al punto $Q= (0,...,0,-1)$. Siccome $A$ e $B$ sono tra loro sconnessi e' facile domostrare che la loro unione e' omotopicamente equivalente a ${P}\cup{Q}$.
"squalllionheart":
Inoltre mi confermi la seguente relazione:
$RR^3-{\text{retta}}~RR^2-{\text{un punto}}~S^1$
Ti confermo la relazione - purche' la relazione "$~$"significhi "omotopicamente equivalente"
"squalllionheart":
inoltre se i tre oggetti sono omotopi posso dire che hanno tutti e tre come gruppo fonfamentale $(ZZ,+)$?
Dato che l'omotopia è una relazine d'equivalenza.
Beh io avrei detto "dato che i gruppi fondamentali sono invarianti omotopici" - cioe' spazi omotopicamanete equivalenti hanno gruppi fondamentali isomorfi.
Comunque la sostanza mi pare giusta.
Confermo che l'iperpiano è lo spazio vettoriale di codimensione 1.
Dato che $RR^n-{\text{iperpiano}}$ è omotopicamente equivalente a 2 punti poichè ha 2 componenti connesse, mi fa dire in generale, che uno spazio topologico con $n$ componenti conesse è omotopicamente equivalente a $n$ punti, o lo posso dirlo solo per sottoinsiemi di $R^n$?
In questo modo potrei anche dimostrare che spazi come $R^n$ e $D^n$ e più in generale sottoinsiemi convessi di $R^n$, dato che hanno una sola componente conessa sono contraibili, quindi omotopicamente equivalenti a un punto.
Funge?
Come la dimostro che sono omotopicamente equivalenti?
Con le componenti conesse?
Grazie mille, sei stato illuminate;)
Dato che $RR^n-{\text{iperpiano}}$ è omotopicamente equivalente a 2 punti poichè ha 2 componenti connesse, mi fa dire in generale, che uno spazio topologico con $n$ componenti conesse è omotopicamente equivalente a $n$ punti, o lo posso dirlo solo per sottoinsiemi di $R^n$?
In questo modo potrei anche dimostrare che spazi come $R^n$ e $D^n$ e più in generale sottoinsiemi convessi di $R^n$, dato che hanno una sola componente conessa sono contraibili, quindi omotopicamente equivalenti a un punto.
Funge?
"ViciousGoblin":
$RR^3-{\text{retta}}~RR^2-{\text{un punto}}~S^1$
Come la dimostro che sono omotopicamente equivalenti?
Con le componenti conesse?
Grazie mille, sei stato illuminate;)
"squalllionheart":
Confermo che l'iperpiano è lo spazio vettoriale di codimensione 1.
Dato che $RR^n-{\text{iperpiano}}$ è omotopicamente equivalente a 2 punti poichè ha 2 componenti connesse, mi fa dire in generale, che uno spazio topologico con $n$ componenti conesse è omotopicamente equivalente a $n$ punti, o lo posso dirlo solo per sottoinsiemi di $R^n$?
Ehhm no, neanche per insiemi di $RR^n$
Non e' mica detto che ogni componente connessa sia equivalente a un punto.Se lo spazio e' unione di $n$ componenti connesse $A_1$...$A_n$ quello che puoi (utilmente) fare e' calcolarti il gruppo fondamentale di ogni componente connessa e alla fine fare
il prodotto (o la somma - non mi ricordo bene il formalismo) dei gruppi fondamentali. Per esempio se lo spazio e' unione disgiunta di due $S^1$ il gruppo verra' $ZZ\times ZZ$.
"squalllionheart":
In questo modo potrei anche dimostrare che spazi come $R^n$ e $D^n$ e più in generale sottoinsiemi convessi di $R^n$, dato che hanno una sola componente conessa sono contraibili, quindi omotopicamente equivalenti a un punto.
Funge?
Funge!! - perche in questo caso hai detto la parola magica "contraibili$
"squalllionheart":
[quote="ViciousGoblin"]
$RR^3-{\text{retta}}~RR^2-{\text{un punto}}~S^1$
Come la dimostro che sono omotopicamente equivalenti?
Con le componenti conesse?
[/quote]
Scusa - qui di componenti connesse ce n'e' una sola ...
. Per quanto riguarda $RR^2-"punto"~S^1$ mi pareva di aver scritto precedentemente come si fa. Per quanto riguarda la primaequivalenza puoi dimostrarla "deformando" $RR^3-"retta"$ in $RR^2-"punto"$ usando la proiezione che manda ogni punto di $RR^3$ su $RR^2$ "parallelamente alla retta". I dettagli sono un po'
lunghi da scrivere -se non ci riesci da solo posso provare a elencarli piu' tardi.
"squalllionheart":
Grazie mille, sei stato illuminate;)
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