Rototraslazione equazione ellisse

[Demostene92]

Ciao a tutti! Non mi viene un esercizio

"Scrivere l'equazione dell'ellisse di vertici $V_1=(0,2)$ e $V_2=(sqrt3,1)$ e avente eccentricità $\epsilon=1/3$".

Seguendo i ragionamenti del mio prof, ho ragionato così:
Rototraslo tutto in modo tale che l'origine del nuovo sistema di riferimento cartesiano, coincida con il punto medio dei vertici dell'ellisse $V_1$ e $V_2$ che è dato da $M=O'=(sqrt3/2, 1/2)$.
A questo punto sfruttando la trigonometria, calcolo l'angolo tra $\theta=\pi/6$ che è l'angolo di rotazione degli assi.
Ora imposto la matrice $R$ di rotazione come segue (non riesco a scriverla con le formule):

$a_11=cos(\pi/6) = sqrt(3)/2$
$a_12=cos(\pi/2 - \pi/6) = 1/2$
$a_21=cos(\pi/2 + \pi/6) = -1/2$
$a_22=cos(\pi/6) = sqrt(3)/2$

Dalla relazione di traslazione $x=x_0+x'$ ottengo in termini matriciali:

$((x'),(y')) = ((x-sqrt(3)/2),(y-1/2))$

Rototraslando seguendo $\bar x = R(x-x_0)$ ho:

$((\bar x),(\bar y)) = ((sqrt(3)/2,1/2),(-1/2,sqrt(3)/2))((x-sqrt(3)/2),(y-1/2)) = ((sqrt(3)/2x-3/4+1/2y-1/4),(-1/2x+sqrt(3)/4+sqrt(3)/2y-sqrt(3)/4))$

Calocolando il parametro del semiasse focale $a$ come la metà della distanza tra i due vertici ottengo $a=1 -> a^2=1$

Calcolando $b^2$ dalla relazione dell'eccentricità $\epsilon$ ottengo $1/3=sqrt(1-b^2/a^2)$ da cui $b^2=8/9$

Facendo ora $X=X_0+R^T\bar X$ e alla fine dei conti ottengo che la matrice è

$((sqrt(3)/2+sqrt(3)/2x-1/2y),(1/2+1/2x+sqrt(3)/2y))$

Ma sostituendo questi valori nell'equazione generica dell'ellisse non mi viene, anche se alcuni valori corrispondono.
Il risultato dovrebbe essere:$33x^2+35y^2-2sqrt(3)xy-32sqrt(3)x-32y=0$.

Secondo me faccio casino, a dir la verità devo ancora capire bene quando cavolo sostituire!

[Quinzio]

MI sembra che hai fatto un errorino nelle coordinate del centro che sono $((\sqrt3)/(2),(3)/(2))$.
Poi nella matrice di RT mi sembra che fai prima la traslazione e poi la rotazione.... in questo caso devi anche tenere contro della rotazione del centro.
Se invece fai prima rotazione e poi traslazione non hai questo problema.

In ogni caso se ti confondi puoi trovare una applicazione che manda i due vertici dell'ellisse "canonica" $(-1,0), (1,0)$ nei vertici di quella originale, è la stessa cosa e non ti sbagli.