Rotazioni spaziali
Buon giorno a tutti,
è da un pò che non rimetto "mano" al tema delle rotazioni spaziali per cui perdonatemi se la domanda può essere banale.
Il quesito è il seguente:
conoscendo due vettori $v$ e $v'$ dove $v'=Rv$ posso risalire alla definizione della matrice di rotazione?
Nello specifico devo calcolare l'orientamento nello spazio di un piano rispetto ad un riferimento fisso, dunque conosco le equazioni dei due piani, i versori ecc ecc..
grazie per l'aiuto e buon lavoro a tutti.
è da un pò che non rimetto "mano" al tema delle rotazioni spaziali per cui perdonatemi se la domanda può essere banale.
Il quesito è il seguente:
conoscendo due vettori $v$ e $v'$ dove $v'=Rv$ posso risalire alla definizione della matrice di rotazione?
Nello specifico devo calcolare l'orientamento nello spazio di un piano rispetto ad un riferimento fisso, dunque conosco le equazioni dei due piani, i versori ecc ecc..
grazie per l'aiuto e buon lavoro a tutti.
Risposte
Posta così, la domanda ha poco senso. In che spazio spazio ti trovi?
Una trasformazione lineare cambia la base iniziale...è quella canonica?
Se conosci solo una trasformazione e sai associarla ad un solo vettore della base di partenza allora non puoi costruire la trasformazione, a meno che tu non sia in $R$ ma alllora parlare di rotazione sarebbe assurdo.
Infine la trasformazione è una rotazione se lascia inalterato tutto (lunghezze e orientamenti "relativi" dei vettori), quindi la domanda è "come fai ad essere certo che si tratti di una rotazione?".
Dovresti specificare decisamente meglio il problema
Una trasformazione lineare cambia la base iniziale...è quella canonica?
Se conosci solo una trasformazione e sai associarla ad un solo vettore della base di partenza allora non puoi costruire la trasformazione, a meno che tu non sia in $R$ ma alllora parlare di rotazione sarebbe assurdo.
Infine la trasformazione è una rotazione se lascia inalterato tutto (lunghezze e orientamenti "relativi" dei vettori), quindi la domanda è "come fai ad essere certo che si tratti di una rotazione?".
Dovresti specificare decisamente meglio il problema
Ciao Bokonon e grazie per l'intervento.
Pongo il quesito in questo modo:
supponiamo che io abba un vettore $v=[0 0 1]$ al quale viene applicata una rotazione nello spazio $R$ ottenendo come risultatne il vettore $v'$, è possibile risalire alla matrice di rotazione? siamo nello spazio $R^3$
In "$R^2$" il problema è risolvibile banalmente, so calcolare l'angolo tra i due vettori (ad esempio attraverso la formula del prodotto scalare) e di conseguenza anche la matrice di rotazione.
Pongo il quesito in questo modo:
supponiamo che io abba un vettore $v=[0 0 1]$ al quale viene applicata una rotazione nello spazio $R$ ottenendo come risultatne il vettore $v'$, è possibile risalire alla matrice di rotazione? siamo nello spazio $R^3$
In "$R^2$" il problema è risolvibile banalmente, so calcolare l'angolo tra i due vettori (ad esempio attraverso la formula del prodotto scalare) e di conseguenza anche la matrice di rotazione.
Ciao!
Se i due vettori, che chiamo $v,w$, sono noti allora; $cos(theta)=(v*w)/(norm(v)*norm(w))$, ricavi anche $sin(theta)$ e imposti la matrice.
Se i due vettori, che chiamo $v,w$, sono noti allora; $cos(theta)=(v*w)/(norm(v)*norm(w))$, ricavi anche $sin(theta)$ e imposti la matrice.
"anto_zoolander":
Ciao!
Se i due vettori, che chiamo $v,w$, sono noti allora; $cos(theta)=(v*w)/(norm(v)*norm(w))$, ricavi anche $sin(theta)$ e imposti la matrice.
Sì ok, questo è quello che ho suggerito anche io nel mio post. Io vorrei capire quali sono i passi per ricostruire la matrice di rotazione nello spazio $R^3$.
Con semplici due vettori mi sembra un pò assurdo poter ricavare 9 parametri (quelli della matrice di rotazione) e proprio per questo sto chiedendo sul forum.
Grazie a tutti
Lo puoi fare se v è diverso da v', nel qual caso hai esattamente due rotazioni che verificano la condizione, altrimenti sei in un caso degenere e hai una infinità di rotazioni. È vero che una matrice ha 9 parametri, ma le matrici di rotazione sono individuate da 3 soli parametri (per esempio, gli angoli di Eulero).
Come farlo esattamente è quello che qua nessuno ti vuole dire perché siamo pigri e non abbiamo voglia di fare conti.
Cerca "Rodrigues formula".
Come farlo esattamente è quello che qua nessuno ti vuole dire perché siamo pigri e non abbiamo voglia di fare conti.
Cerca "Rodrigues formula".
@dissonance
Grazie mille ed evviva la sincerità. Sì in effetti dopo aver scritto mi sono reso conto della cavolata (relativamente ai 9 parametri).
Saranno 10 anni che non vedevo più queste cose e Rodigues lo avevo completamente rimosso.
Saluti
Grazie mille ed evviva la sincerità. Sì in effetti dopo aver scritto mi sono reso conto della cavolata (relativamente ai 9 parametri).
Saranno 10 anni che non vedevo più queste cose e Rodigues lo avevo completamente rimosso.
Saluti
Mi fa piacere essere stato di aiuto. In effetti la soluzione non è difficile. Ricapitolando, tu hai assegnato due vettori \(\mathbf{v}, \mathbf{v}'\) di uguale lunghezza e vuoi trovare una matrice \(R\) di rotazione tale che \(R\mathbf{v}=\mathbf{v}'\). Come dice la pagina di Wikipedia sulla formula di Rodrigues, tale matrice è individuata da un asse \(\mathbf{k}\) e da un angolo \(\theta\). Ragionando graficamente, si vede che l'asse è dato dalla formula
\[
\mathbf{k}=\frac{ \mathbf{v}\times \mathbf{v}'}{|\mathbf{v}\times\mathbf{v}'|}, \]
mentre l'angolo è dato dalla formula
\[
\cos \theta = \frac{ \mathbf{v}\cdot\mathbf{v}'}{|\mathbf{v}||\mathbf{v}'|}.\]
Qua chiaramente deve essere \(\mathbf{v}\ne \pm\mathbf{v}'\) altrimenti la formula per \(\mathbf{k}\) perde di significato.
Una volta che asse e angolo sono stati trovati, la matrice \(R\) è data dalla formula di Rodrigues che si trova nella pagina di Wikipedia, sezione "Matrix notation".
\[
\mathbf{k}=\frac{ \mathbf{v}\times \mathbf{v}'}{|\mathbf{v}\times\mathbf{v}'|}, \]
mentre l'angolo è dato dalla formula
\[
\cos \theta = \frac{ \mathbf{v}\cdot\mathbf{v}'}{|\mathbf{v}||\mathbf{v}'|}.\]
Qua chiaramente deve essere \(\mathbf{v}\ne \pm\mathbf{v}'\) altrimenti la formula per \(\mathbf{k}\) perde di significato.
Una volta che asse e angolo sono stati trovati, la matrice \(R\) è data dalla formula di Rodrigues che si trova nella pagina di Wikipedia, sezione "Matrix notation".
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