Rotazione spazio
Ciao a tutti..Sono alle prese con isometrie del piano e dello spazio e nel mio libro c'è scritto che nel caso delle isometrie dello spazio, se ho queta isometria
$((x'),(y'),(z'))$$=$$((1,0,0),(0,cos \sigma,-sin \sigma),(0,sin \sigma,cos \sigma))$$((x),(y),(z))$$+$$((a),(b),(c))$
posso avere una semplice rotazione rispetto ad una retta parallela all'asse x nel caso in cui $a=0$ mentre in caso contrario avrei una rototraslazione.
A questo punto ho cercato di capire perchè ho una rotazione rispetto ad una retta parallela all'asse x e ho pensato di cercale le soluzioni in questo modo:
$\{(x=x+a),(y=y(cos \sigma)-z(sin \sigma)+b),(z =y(sin \sigma)+z(cos \sigma)+c):}$
ma $a=0$ quindi la prima equazione diventa un identità. Devo continuare a risolvere il sistema o è sufficiente per dire che è una rotazione rispetto ad una retta parallela all'asse x?
$((x'),(y'),(z'))$$=$$((1,0,0),(0,cos \sigma,-sin \sigma),(0,sin \sigma,cos \sigma))$$((x),(y),(z))$$+$$((a),(b),(c))$
posso avere una semplice rotazione rispetto ad una retta parallela all'asse x nel caso in cui $a=0$ mentre in caso contrario avrei una rototraslazione.
A questo punto ho cercato di capire perchè ho una rotazione rispetto ad una retta parallela all'asse x e ho pensato di cercale le soluzioni in questo modo:
$\{(x=x+a),(y=y(cos \sigma)-z(sin \sigma)+b),(z =y(sin \sigma)+z(cos \sigma)+c):}$
ma $a=0$ quindi la prima equazione diventa un identità. Devo continuare a risolvere il sistema o è sufficiente per dire che è una rotazione rispetto ad una retta parallela all'asse x?
Risposte
Riflettiamo insieme...
Osserva che la tua trasformazione lascia la coordinata [tex]x[/tex] invariata.
Pertanto ciò che avviene sul piano [tex]yz[/tex] avviene anche su ogni piano ad esso parallelo.
Quindi ti basta capire cosa avviene sul piano [tex]yz[/tex]. Ma su tale piano la trasformazione ha equazione
[tex]\left\{\begin{matrix}y'=(\cos\sigma)y-(\sin\sigma)z+b \\ z'=(\sin\sigma)y+(\cos\sigma)z+c \end{matrix}\right.[/tex]
Ricordando ciò che avviene sul piano, questa è l'equazione di....
E questo corrisponde nello spazio...
Osserva che la tua trasformazione lascia la coordinata [tex]x[/tex] invariata.
Pertanto ciò che avviene sul piano [tex]yz[/tex] avviene anche su ogni piano ad esso parallelo.
Quindi ti basta capire cosa avviene sul piano [tex]yz[/tex]. Ma su tale piano la trasformazione ha equazione
[tex]\left\{\begin{matrix}y'=(\cos\sigma)y-(\sin\sigma)z+b \\ z'=(\sin\sigma)y+(\cos\sigma)z+c \end{matrix}\right.[/tex]
Ricordando ciò che avviene sul piano, questa è l'equazione di....
E questo corrisponde nello spazio...
Quella sarebbe la rotazione nel piano $yz$ attorno ad un punto. Mentre non capisco:
"cirasa":
E questo corrisponde nello spazio...
Ok, quella è la rotazione attorno ad un punto (nel caso in cui [tex]\sigma\neq 0[/tex]) sul piano [tex]yz[/tex].
Supponiamo che questo punto abbia coordinate [tex](0,y_0,z_0)[/tex].
Ora prendi un altro piano parallelo al piano [tex]yz[/tex] per esempio quello di equazione [tex]x=1[/tex].
La tua trasformazione (sul piano [tex]x=1[/tex]) ha di nuovo equazione
[tex]\left\{\begin{matrix}y'=(\cos\sigma)y-(\sin\sigma)z+b \\ z'=(\sin\sigma)y+(\cos\sigma)z+c \end{matrix}\right.[/tex]
lasciando fissa la coordinata [tex]x[/tex].
Pertanto essa è la rotazione attorno al punto di coordinate [tex](1,y_0,z_0)[/tex].
Puoi ripetere il ragionamento su ogni piano parallelo al piano [tex]yz[/tex] ottenendo che la tua trasformazione su ogni piano con equazione [tex]x=k[/tex] (con [tex]k\in\mathbb{R}[/tex] arbitrario) è la trasformazione che lascia fissa la coordinata [tex]x[/tex] e ruota ogni punto attorno al punto di coordinate [tex](k,y_0,z_0)[/tex].
Tornando a ragionare globalmente ottieni che la tua trasformazione lascia fissa la coordinata [tex]x[/tex] e ruota ogni punto attorno alla retta di equazione [tex]\left\{\begin{matrix}y=y_0 \\ z=z_0 \end{matrix}\right.[/tex]
Spero di essermi spiegato
Supponiamo che questo punto abbia coordinate [tex](0,y_0,z_0)[/tex].
Ora prendi un altro piano parallelo al piano [tex]yz[/tex] per esempio quello di equazione [tex]x=1[/tex].
La tua trasformazione (sul piano [tex]x=1[/tex]) ha di nuovo equazione
[tex]\left\{\begin{matrix}y'=(\cos\sigma)y-(\sin\sigma)z+b \\ z'=(\sin\sigma)y+(\cos\sigma)z+c \end{matrix}\right.[/tex]
lasciando fissa la coordinata [tex]x[/tex].
Pertanto essa è la rotazione attorno al punto di coordinate [tex](1,y_0,z_0)[/tex].
Puoi ripetere il ragionamento su ogni piano parallelo al piano [tex]yz[/tex] ottenendo che la tua trasformazione su ogni piano con equazione [tex]x=k[/tex] (con [tex]k\in\mathbb{R}[/tex] arbitrario) è la trasformazione che lascia fissa la coordinata [tex]x[/tex] e ruota ogni punto attorno al punto di coordinate [tex](k,y_0,z_0)[/tex].
Tornando a ragionare globalmente ottieni che la tua trasformazione lascia fissa la coordinata [tex]x[/tex] e ruota ogni punto attorno alla retta di equazione [tex]\left\{\begin{matrix}y=y_0 \\ z=z_0 \end{matrix}\right.[/tex]
Spero di essermi spiegato
Ottima spiegazione..Non capivo cosa era quel "questo"..a cosa ti riferivi. Comunque certo ora mi è tutto chiaro. Non avevo pensato prima di postare il tutto ad una possibile presa in considerazione di piani paralleli al piano $yz$. Grazie ancora. Buona giornata.
Prego 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo