Rotazione intorno XYZ

[aramis79]

Ciao a tutti,volevo sapere se esiste e quale è la matrice che risolve questo problema.
Si abbia un sistema di riferimento fisso XYZ e un sistema mobile X'Y'Z' inizialmente coincidenti.L'origine dei due sistemi rimanga sempre coincidente.Si abbia un piano solidale col sistema mobile X'Y'Z'.Si ruoti il piano ad esempio intorno a Z' di un angolo PHI,il sistema mobile diventa quindi X''Y''Z'.Si voglia ora ruotare il piano attorno ad X'' di un angolo THETA gli assi del sistema mobile divengono ora X''Y'''Z''' e così via...
Esiste una matrice R del tipo

[P']=[R(THETA,PSI,PHI)]*

Dove P sono le coordinate di un punto del piano prima delle rotazioni e P' le coordinate dello stesso punto dopo le rotazioni prima descritte?(THEta è la rotazione attorno a quello che inizialmente è X',PSI attorno a Y' e PHI attorno a Z')


P.S.:Ho provato a modificare la matrice di rotazione di Eulero ma senza riuscire a raggiungere il risultato voluto.
Grazie a chiunque mi vorrà rispondere

[*pizzaf40]

Rotazione di $alpha$ con $x$ fisso:

$x'=x$
$y'=y cosalpha+z sinalpha$
$z'= -y sinalpha+z cosalpha$

quindi:

$((x'),(y'),(z'))=((1,0,0),(0,cosalpha,sinalpha),(0,-sinalpha,cosalpha))((x),(y),(z))$

Alla stessa maniera, rotazione di $theta$ con $y$ fisso:

$x'=x costheta-z sintheta$
$y'=y$
$z'=x sintheta + z costheta$

e quindi:

$((x'),(y'),(z'))=((costheta,0,-sintheta),(0,1,0),(sintheta,0,costheta))((x),(y),(z))$

e per rotazione $phi$ con $z$ fisso, stesso identico metodo!

Tutto questo l'ho trovato a partire dalle posizione classiche ($z$ verticale,$y$ verso destra,$x$ uscente dal foglio) e con angoli di rotazione con regola della vite (o della manodestra), cioè senso antiorario guardando a partire dai valori positivi dell'asse in gioco...

[aramis79]

Purtroppo non è questo quello che cerco. Probabilmente non mi sono spiegato bene. Quando ruoti attorno ad X,cambiano gli assi sia Y che Z divenendo Y' e Z'.Con le matrici che mi hai dato la rotazione avviene sempre attorno agli stessi assi X,Y,Z.
Quello che cerco io è diverso,gli assi di rotazione sono solidali con il piano che ruota.
Grazie comunque!

[amel3]

Scusa, ma se un sottoinsieme di $RR^3$ ruota solidale ad un riferimento, rispetto a quel sistema di riferimento è come se non si fosse mosso (geometricamente parlando ovviamente). Dunque le coordinate dei punti di quel sottoinsieme sono le stesse anche dopo lo spostamento.

[aramis79]

Nel primo post ho scritto che i sistemi sono due,uno mobile che serve per definire gli assi di rotazione e l'altro quello fisso in cui si vogliono le coordinate del punto solidale col sistema mobile.Il sistema mobile ruota attorno ai suoi tre assi tenendo la sua origine coincidente col sistema mobile.

[*pizzaf40]

Ma scusa...a me pare evidente che la prima matrice permette la rotazione del sistema mobile tenendo fisso $x$...e la seconda permette la rotazione tenedo fisso $y$!!!
Chiamandole $[T_x]$ e $[T_y]$, se vuoi prima ruotare rispetto a $x$ e poi ruotare il risultato rispetto a $y$ ti basta fare:

((x''),(y''),(z''))=[T_y][T_x]((x),(y),(z))

Infatti $[T_x]((x),(y),(z))$ ottiena il sistema ruotato in $x$, quindi $((x'),(y'),(z'))$...poi [T_y]((x'),(y'),(z')) ruota rispetto a $y'$ e ottieni la doppia rotazione relativa!!!!

[*pizzaf40]

$((x''),(y''),(z''))=[T_y][T_x]((x),(y),(z))$

...ho dimenticato i dollari..

[aramis79]

E' questo il mio problema,se non ho capito male,le matrici varie che hai scritto sono la prima,rotazione di angolo alfa attorno all'asse di versore (1,0,0) la seconda di angolo theta attorno all'asse di versore (0,1,0) etc..Se le moltiplichi ottieni le tre rotazioni ma sempre attorno ad assi di versori (1,0,0);(0,1,0);(0,0,1).
Quello che cerco io è diverso,ad esempio se ruoti attorno ad X di alfa quando poi vai a ruotare attorno ad Y il versore dell'asse Y è diventato(0,cos(alfa),sin(alfa)) etc..
E' così o mi sbaglio?