Rotazione intorno ad un asse
ciao. allora ho un dubbio su questo esercizio.
mi si dice di trovare la matrice associata alla trasformazione affine data dalla rotazione di angolo $\theta$ attorno alla retta di equazione $x=y=z$.
io avevo pensato così trovato il vettore direzione della retta che è $v=(1,1,1)$ questo lo completo ad una base ortonormale ad esempio quella formata da lui più ad esempio $w=(-1,1,0)$ e $t=(-1,0,1)$. ora avevo pensato di trovare la matrice che trasforma questa base nella base canonica di $RR^3$ e poi fare la rotazione. quindi in termini di matrici ho che detta
$A=((1,-1,-1),(1,1,0),(1,0,1))$ la matrice che trasforma la base canonica nella base v,w,t allora la matrice $A^{-1}$ mi dà la trasformazione inversa e dunque
detta $R=((1,0,0),(0,cos\theta,-sin\theta),(0,sin\theta,cos\theta))$ che corrisponnde alla rotazione intorno all'asse $e_1$ ho che la mia matrice che cercavo è
$B=RA^{-1}$
è corretto secondo voi?
mi si dice di trovare la matrice associata alla trasformazione affine data dalla rotazione di angolo $\theta$ attorno alla retta di equazione $x=y=z$.
io avevo pensato così trovato il vettore direzione della retta che è $v=(1,1,1)$ questo lo completo ad una base ortonormale ad esempio quella formata da lui più ad esempio $w=(-1,1,0)$ e $t=(-1,0,1)$. ora avevo pensato di trovare la matrice che trasforma questa base nella base canonica di $RR^3$ e poi fare la rotazione. quindi in termini di matrici ho che detta
$A=((1,-1,-1),(1,1,0),(1,0,1))$ la matrice che trasforma la base canonica nella base v,w,t allora la matrice $A^{-1}$ mi dà la trasformazione inversa e dunque
detta $R=((1,0,0),(0,cos\theta,-sin\theta),(0,sin\theta,cos\theta))$ che corrisponnde alla rotazione intorno all'asse $e_1$ ho che la mia matrice che cercavo è
$B=RA^{-1}$
è corretto secondo voi?
Risposte
No, e si vede facilmente calcolando il determinante della matrice $B$. Per essere una rotazione devi anche tornare poi alla base originale e quindi è:
$B=ARA^{-1}$
P.S. La base che hai scritto non è ortonormale e la matrice $A$ ha $det(A) \ne 1$
$B=ARA^{-1}$
P.S. La base che hai scritto non è ortonormale e la matrice $A$ ha $det(A) \ne 1$
quindi la matrice corretta è $ARA^{-1}$??? non capisco perchè devo tornare nella base canonica???
mi puoi spiegare per favore?
mi puoi spiegare per favore?
Siano $e_1, e_2, e_3$ le basi standard. Sia $B = RA^{-1}$ come nel tuo primo post e $v = (1,1,1)$. $Bv = RA^{-1}v = Re_1 = e_1$. Come vedi la tua trasformazione non tiene $v$ fisso e non è una isometria ($|v| = \sqrt3$ mentre $|Bv| = 1$). Come puoi vedere hai trasformato i vettori in un differente riferimento e non li hai ritrasformati nel riferimento iniziale.
Consideriamo quindi la matrice $C = ARA^{-1}$, $det(C) = det(ARA^{-1}) = det(A)det(R)det(A)^{-1} = det(R) = 1$. Quindi $C \in SO(3)$ ed è quindi una rotazione. $Cv = ARA^{-1}v = ARe_1 = Ae_1 = v$. La matrice $C$ è quindi una rotazione intorno all'asse voluto. Vediamo adesso che è di angolo $\theta$. Sia $u = \beta(cos(\alpha)w + sin(\alpha)t)$ un vettore del piano definito da $w$ ed $t$ (definiti come nel tuo post).
$Cu = C(\beta cos(\alpha)w + \beta sin(\alpha)t) = \beta cos(\alpha) Cw + \beta sin(\alpha) Ct = $
$= \beta cos(\alpha) A(cos(\theta)e_2 + sin(\theta)e_3) + \beta sin(\alpha) A(-sin(\theta)e_2 + cos(\theta)e_3) = \beta \cos(\alpha) (cos(\theta)w + sin(theta)t) + \beta \sin(\alpha) (-sin(\theta)w + cos(theta)t) = $
$= \beta (cos(alpha)cos(theta) - sin(alpha)sin(theta))w + \beta (cos(alpha)sin(theta) + sin(\alpha)cos(\theta))t = \beta( cos(\alpha + \theta)w + sin(\alpha + \theta)t )$
Come puoi vedere il vettore viene ruotato dell'angolo $\theta$.
Consideriamo quindi la matrice $C = ARA^{-1}$, $det(C) = det(ARA^{-1}) = det(A)det(R)det(A)^{-1} = det(R) = 1$. Quindi $C \in SO(3)$ ed è quindi una rotazione. $Cv = ARA^{-1}v = ARe_1 = Ae_1 = v$. La matrice $C$ è quindi una rotazione intorno all'asse voluto. Vediamo adesso che è di angolo $\theta$. Sia $u = \beta(cos(\alpha)w + sin(\alpha)t)$ un vettore del piano definito da $w$ ed $t$ (definiti come nel tuo post).
$Cu = C(\beta cos(\alpha)w + \beta sin(\alpha)t) = \beta cos(\alpha) Cw + \beta sin(\alpha) Ct = $
$= \beta cos(\alpha) A(cos(\theta)e_2 + sin(\theta)e_3) + \beta sin(\alpha) A(-sin(\theta)e_2 + cos(\theta)e_3) = \beta \cos(\alpha) (cos(\theta)w + sin(theta)t) + \beta \sin(\alpha) (-sin(\theta)w + cos(theta)t) = $
$= \beta (cos(alpha)cos(theta) - sin(alpha)sin(theta))w + \beta (cos(alpha)sin(theta) + sin(\alpha)cos(\theta))t = \beta( cos(\alpha + \theta)w + sin(\alpha + \theta)t )$
Come puoi vedere il vettore viene ruotato dell'angolo $\theta$.
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