Rotazione di una retta attorno ad un'altra generante una quadrica
Buonasera a tutti.
Sto preparando un esame di Algebra e Geometria e sono fermo sugli esercizi riguardanti le rotazioni.
Un punto mi chiede di definire la quadrica generata dalla rotazione di una retta s : -z-1=0=x attorno alla retta r: x+z=0=x-1.
Come procedo? Non riesco a muovermi.
Grazie.
Sto preparando un esame di Algebra e Geometria e sono fermo sugli esercizi riguardanti le rotazioni.
Un punto mi chiede di definire la quadrica generata dalla rotazione di una retta s : -z-1=0=x attorno alla retta r: x+z=0=x-1.
Come procedo? Non riesco a muovermi.
Grazie.
Risposte
Le rette r ed s sono parallele. Infatti le rispettive equazioni sono :
\(\displaystyle r: \begin{cases}x=1\\z=-1 \end{cases} \)
\(\displaystyle s: \begin{cases}x=0\\z=-1 \end{cases} \)
Da qui si deduce che r ed s giacciono nel piano $z=-1$ ed hanno il medesimo vettore direzionale $(0,1,0)$
La rotazione di s attorno ad r produce quindi una superficie cilindrica di asse la retta r e raggio=1 ( distanza tra r ed s).
Per avere l'equazione di tale superficie troviamo dapprima le equazioni della sua generica sezione normale all'asse r.
Il generico punto di s è $Q(0,t,-1)$ ed il piano per Q normale ad r è $y=t$; tale piano interseca la retta r nel punto
$C( 1,t,-1)$ e la sezione richiesta è l'intersezione tra il suddetto piano e la superficie sferica di centro C e raggio CQ=1. Pertanto le equazioni della sezione sono :
\(\displaystyle \begin{cases}y=t\\ (x-1)^2+(y-t)^2+(z+1)^2=1 \end{cases} \)
Eliminando t si ha l'equazione della superficie cilindrica richiesta:
$(x-1)^2+(z+1)^2=1$
\(\displaystyle r: \begin{cases}x=1\\z=-1 \end{cases} \)
\(\displaystyle s: \begin{cases}x=0\\z=-1 \end{cases} \)
Da qui si deduce che r ed s giacciono nel piano $z=-1$ ed hanno il medesimo vettore direzionale $(0,1,0)$
La rotazione di s attorno ad r produce quindi una superficie cilindrica di asse la retta r e raggio=1 ( distanza tra r ed s).
Per avere l'equazione di tale superficie troviamo dapprima le equazioni della sua generica sezione normale all'asse r.
Il generico punto di s è $Q(0,t,-1)$ ed il piano per Q normale ad r è $y=t$; tale piano interseca la retta r nel punto
$C( 1,t,-1)$ e la sezione richiesta è l'intersezione tra il suddetto piano e la superficie sferica di centro C e raggio CQ=1. Pertanto le equazioni della sezione sono :
\(\displaystyle \begin{cases}y=t\\ (x-1)^2+(y-t)^2+(z+1)^2=1 \end{cases} \)
Eliminando t si ha l'equazione della superficie cilindrica richiesta:
$(x-1)^2+(z+1)^2=1$
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