Rotazione di una conica
Salve vi posto questo banale esercizio che però non mi esce non so perchè:
Ruotare la conica di equazione $3x^2-y=0$ di $45$ gradi in senso orario.
Per fare questo problema ho usato la matrice di rotazione:
$( ( cos 45 , - sen 45 ),( sen 45 , cos 45 ) )$
Che forma mi crea il sistema:
${ ( sqrt(2)/2x-sqrt(2)/2y ),( sqrt(2)/2x+sqrt(2)/2y ):}$
Che poi sostituisco nella x e nella y della conica, ma perchè sul libro la matrice di rotazione è diversa?
La sostituzione sul libro è riportata come:
$3( X/sqrt(2) + y/sqrt(2))^2 - (- X/sqrt(2) + y/sqrt(2))$
Cosa ho sbagliato nella matrice di rotazione?
Perchè sul libro l'angolo esce $1/2$ e non $sqrt(2)/2$ ??
Grazie per l'aiuto!
Ruotare la conica di equazione $3x^2-y=0$ di $45$ gradi in senso orario.
Per fare questo problema ho usato la matrice di rotazione:
$( ( cos 45 , - sen 45 ),( sen 45 , cos 45 ) )$
Che forma mi crea il sistema:
${ ( sqrt(2)/2x-sqrt(2)/2y ),( sqrt(2)/2x+sqrt(2)/2y ):}$
Che poi sostituisco nella x e nella y della conica, ma perchè sul libro la matrice di rotazione è diversa?
La sostituzione sul libro è riportata come:
$3( X/sqrt(2) + y/sqrt(2))^2 - (- X/sqrt(2) + y/sqrt(2))$
Cosa ho sbagliato nella matrice di rotazione?
Perchè sul libro l'angolo esce $1/2$ e non $sqrt(2)/2$ ??
Grazie per l'aiuto!
Risposte
Esprimiti per bene, mannaggia. Così come hai scritto sembra tutto sbagliato mentre in realtà c'è solo una piccola svista.
Hai questa equazione: $3x^2-y=0$. Vuoi che il luogo da essa descritto sia ruotato di $45°$, ovvero $pi/4$ radianti (ricordiamoci sempre che l'argomento delle funzioni trigonometriche è espresso in radianti e non in gradi). Per fare questo devi applicare ad $(x, y)$ la trasformazione inversa, ovvero devi ruotarle di $-pi/4$:
$((x), (y))\mapsto((cos(-\pi/4), -sin(-\pi/4)), (sin(-pi/4), cos(pi/4)))*((x), (y))$.
Ricordati: quando hai un luogo geometrico descritto da una equazione $f(x, y)=0$, la trasformazione che tu applichi a $(x, y)$ risulta nella trasformazione inversa sul grafico. Prova ad usare il plotter di Wolfram Alpha per rendertene conto. Per esempio, prendiamo $y-x^2=0$:[asvg]ymin=0;axes();plot("x^2");[/asvg]
Cosa succede se trasliamo in avanti la $x$ di $1$, ovvero se applichiamo la trasformazione $x\mapsto x+1$? otteniamo il luogo $y-(x+1)^2=0$: [asvg]ymin=0;axes();plot("(x+1)^2");[/asvg]
Il grafico è slittato all'indietro, ovvero ha subito la trasformazione inversa di quella applicata alla variabile. La stessa cosa succede con le rotazioni e con tutte le trasformazioni possibili.
Hai questa equazione: $3x^2-y=0$. Vuoi che il luogo da essa descritto sia ruotato di $45°$, ovvero $pi/4$ radianti (ricordiamoci sempre che l'argomento delle funzioni trigonometriche è espresso in radianti e non in gradi). Per fare questo devi applicare ad $(x, y)$ la trasformazione inversa, ovvero devi ruotarle di $-pi/4$:
$((x), (y))\mapsto((cos(-\pi/4), -sin(-\pi/4)), (sin(-pi/4), cos(pi/4)))*((x), (y))$.
Ricordati: quando hai un luogo geometrico descritto da una equazione $f(x, y)=0$, la trasformazione che tu applichi a $(x, y)$ risulta nella trasformazione inversa sul grafico. Prova ad usare il plotter di Wolfram Alpha per rendertene conto. Per esempio, prendiamo $y-x^2=0$:[asvg]ymin=0;axes();plot("x^2");[/asvg]
Cosa succede se trasliamo in avanti la $x$ di $1$, ovvero se applichiamo la trasformazione $x\mapsto x+1$? otteniamo il luogo $y-(x+1)^2=0$: [asvg]ymin=0;axes();plot("(x+1)^2");[/asvg]
Il grafico è slittato all'indietro, ovvero ha subito la trasformazione inversa di quella applicata alla variabile. La stessa cosa succede con le rotazioni e con tutte le trasformazioni possibili.
grazie 1000 spratutto per il grafico! adesso provvedo subito! 
Grazie ancora per il link che fai grafici è fantastico!
Risoltooo grazie!
Scrivi "plot la tua equazione qui=0" nel campo in alto. Poi clicca su "=".
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