Rotazione antioraria di un angolo attorno a un punto generico

[marthy_92]

Ciao a tutti ! Ho dei dubbi su questo esercizio , non so se l'ho svolto correttamente.

Dato il punto $ O ' = (1,2) $ determinare le equazioni di una rotazione antioraria di un angolo $ \pi/4 $
attorno a $ O ' $

Prima ho effettuato una traslazione porta $ O ' $ nell'origine $ O = (0,0) $ degli assi.

$ { ( x= X +1 ),( y = Y + 2 ):} $


Poi ho effettuato una rotazione di un angolo pari a $ \pi/4 $
$ { ( X= xcos (\pi/4) - ysin(\pi/4) ),( Y = xsin (\pi/4) + y cos (\pi/4) ):} $


Ho riportato il punto $ O ' $ nella posizione originale con la trasformazione

$ { ( X = x-1) ,( Y = y-2 ):} $

Adesso devo combinare insieme le relazioni. Ho un pò di confusione
Perchè dovrei ottenere un qualcosa del tipo

$ { ( X = ....) ,( Y= .... ):} $

Inoltre dovrebbe comparirmi un termine noto ... Mi aiutate? Grazie!

PS Ho letto qui : http://www.webfract.it/FRATTALI/lineari71.htm

[ciampax]

Hai ragionato bene ma stai facendo un po' di confusione con le variabili nel momento in cui usi la rotazione. Ti scrivo come funziona la cosa in notazione matriciale: indichiamo con $x$ il vettore delle coordinate nel sistema $xOy$ e con $X$ quello delle coordinate nel sistema $XOY$. Indichiamo inoltre con $v=O'-O$ il vettore che trasla $O$ nel punto $O'$.

1) per portare i punti dal sistema centrato in $O'$ a quello centrato in $O$ devi usare la trasformazione $x=X-v$ (puoi verificare da te che viene fuori $O=O'-v$ come ci si aspetta);

2) ora devi scrivere la rotazione che cerchi, indicata con la matrice $R$, ma relativamente alle coordinate $xOy$: per cui il modo giusto di scrivere tale equazione è $x'=Rx$, dove indico con $x'$ le coordinate ottenute dopo la rotazione;

3) a questo punto dalle coordinate $x'$ dobbiamo passare alle coordinate $X'$ nel sistema centrato in $O'$ con una nuova traslazione che stavolta ha equazione $X'=x'+v$.

Fatto questo possiamo calcolare le coordinate nel sistema centrato in $O'$ dopo la trasformazione: si ha
$$X'=x'+v=Rx+v=R(X-v)+v=RX-Rv+v=RX+(I-R)v$$
dove $I$ è la matrice identità di ordine 2 (quella che ha il valore 1 sulla diagonale principale e 0 nelle altre posizioni).

Chiaro?

[marthy_92]

Grazie ciampax.. una domanda : la matrice R è così fatta vero?

$ ( ( costheta , -sintheta ),( sintheta , costheta ) ) $

con $ theta = pi/4 $

[ciampax]

Sì.