Rotazione
Siano $(x,y,z)$ tali che la matrice A sia una rotazione. Calcolare $x*z/y$.
A=$((x,x,x),(y,y,-2y),(-z,bz,cz))$
Come procedo per la risoluzione?
A=$((x,x,x),(y,y,-2y),(-z,bz,cz))$
Come procedo per la risoluzione?
Risposte
Che proprietà deve avere una matrice associata ad una rotazione?
"Emar":
Che proprietà deve avere una matrice associata ad una rotazione?
Che il determinante della matrice sia uguale a 1?
"alexdr":
[quote="Emar"]Che proprietà deve avere una matrice associata ad una rotazione?
Che il determinante della matrice sia uguale a 1?[/quote]
Corretto. Prima ancora la matrice dev'essere ortogonale.
Potresti provare a imporre queste condizioni e vedere che succede.
$b$ e $c$ cosa sono? Cosa vuol dire trovare "xz/y"?
"Emar":
[quote="alexdr"][quote="Emar"]Che proprietà deve avere una matrice associata ad una rotazione?
Che il determinante della matrice sia uguale a 1?[/quote]
Corretto. Prima ancora la matrice dev'essere ortogonale.
Potresti provare a imporre queste condizioni e vedere che succede.
$b$ e $c$ cosa sono? Cosa vuol dire trovare "xz/y"?[/quote]
Quindi la condizione che impongono è che il determinante della matrice sia uguale a 1 e che la matrice sia ortogonale; ovvero che la sua trasposta coincida con l'inversa.
Ora per essere invertibile il determinante deve essere diverso da zero.
Calcolo il determinante, applico lo sviluppo di Laplace secondo la prima riga e trovo come determinante: $xyz(3b-2c+1)$
Il determinante è diverso da zero se: $xyz$ $!=$ $0$ e se $b$ $!=$ $(2c-1)/3$
(Domanda: a questo punto posso sostituire a $b$ un qualunque valore che non sia $2c/3$? Perché proseguendo mi ritrovo calcoli eccessivi... Nel ragionamento che seguirà lascerò $b$ e $c$ indicati per non compromettere un eventuale errore che commetterei nel sostituire un dato qualsiasi)
Ora devo porre il determinante uguale a 1, quindi: $xyz(3b-2c+1)=1$.
A questo punto calcolo la trasposta che è:
$((x,y,-z),(x,y,bz),(x,-2y,cz))$
Calcolo la matrice inversa (Ricordando che il determinante è 1 e svolgendo la matrice dei cofattori della trasposta), ottengo:
$((ycz+2ybz,-xcz+xbz,-3xy),(-ycz+2yz,xcz+xz,3xy),(ybz+yz,-xbz-xz,0))$
Ora dovrei risolvere un sistema in cui pongo i valori della trasposta uguali a quelli dell'inversa (e inserisco anche la relazione del determinante)... Ma i calcoli diventano mostruosi, c'è qualche accortezza che si può fare per semplificare i calcoli?
Il sistema è:
$\{(x+y+z=ycz+2byz-xcz+xbz-3xy),(x+y+bz=-ycz+2yz+xcz+xz+3xy),(x-2y+cz=ybz+yz-xbz-xz),(xyz(3b-2c+1)=1) :}$
E da qui non ne esco più vivo...
Fino a qui il procedimento è stato corretto?
Allora vediamo: \(A\in\mathrm{Mat}(\mathbb{R},3)\) è ortogonale se \(\exists A^{-1}=A^t\iff AA^{-1}=AA^t=\mathbb{I}_3\), che possiamo riformulare come
\begin{equation}
v_1:=\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}x,\quad v_2:=\begin{bmatrix}1\\1\\-2\end{bmatrix}y,\quad
v_3:=\begin{bmatrix}-1\\b\\c\end{bmatrix}z
\end{equation}
verificano
\[
v_i^tv_j=\delta_{ij},\quad 1\leq i,j\leq3
\]
Dovresti trovare
\[
c=0,\quad b=1
\]
e
\[
x^2=\frac{1}{3},\quad y^2=\frac{1}{6},\quad z^2=\frac{1}{2}
\]
quindi la condizione \(\det A=1\) implica \(6xyz=1\) quindi
\[xyz>0\iff (x>0\wedge y>0\wedge z>0)\vee(x<0\wedge y<0\wedge z>0)\text{ e ciclici}\]
pertanto \(\frac{xz}{y}=\frac{1}{6y^2}=+1\).
\begin{equation}
v_1:=\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}x,\quad v_2:=\begin{bmatrix}1\\1\\-2\end{bmatrix}y,\quad
v_3:=\begin{bmatrix}-1\\b\\c\end{bmatrix}z
\end{equation}
verificano
\[
v_i^tv_j=\delta_{ij},\quad 1\leq i,j\leq3
\]
Dovresti trovare
\[
c=0,\quad b=1
\]
e
\[
x^2=\frac{1}{3},\quad y^2=\frac{1}{6},\quad z^2=\frac{1}{2}
\]
quindi la condizione \(\det A=1\) implica \(6xyz=1\) quindi
\[xyz>0\iff (x>0\wedge y>0\wedge z>0)\vee(x<0\wedge y<0\wedge z>0)\text{ e ciclici}\]
pertanto \(\frac{xz}{y}=\frac{1}{6y^2}=+1\).
Grazie mille sia per avermi aiutato che per avermi dedicato il tuo tempo
Uhm...
\[
\delta_{ij}:=\begin{cases}
1 &i=j\\
0 &i\ne j
\end{cases}
\]
è la delta di Krönecker, e non è che un altro modo di riscrivere la matrice identità. Da
\[
v_j^tv_j=1
\]
trovi \(x^2,y^2,z^2\), mentre, se non ricordo male, \(v_1^tv_2=0\) è identicamente soddisfatta, mentre da
\[
\begin{cases}
v_1^tv_3=0\\
v_2^tv_3=0
\end{cases}\]
determini \(b,c\) (è un semplice sistema di 2 equazioni in due incongite, lo risolvi immediatamente "per riduzione").
Comunque il tuo determinante non mi torna, infatti sostituendo \(c=0,\,b=1\) non mi viene \(6xyz\).
\[
\delta_{ij}:=\begin{cases}
1 &i=j\\
0 &i\ne j
\end{cases}
\]
è la delta di Krönecker, e non è che un altro modo di riscrivere la matrice identità. Da
\[
v_j^tv_j=1
\]
trovi \(x^2,y^2,z^2\), mentre, se non ricordo male, \(v_1^tv_2=0\) è identicamente soddisfatta, mentre da
\[
\begin{cases}
v_1^tv_3=0\\
v_2^tv_3=0
\end{cases}\]
determini \(b,c\) (è un semplice sistema di 2 equazioni in due incongite, lo risolvi immediatamente "per riduzione").
Comunque il tuo determinante non mi torna, infatti sostituendo \(c=0,\,b=1\) non mi viene \(6xyz\).
Alla fine l'ho risolto così.
$A*A^t=I$
Ho ricavato così un sistema:
$\{(3x^2=1),(xz(-1+b+c)=0),(6y^2=1),(xy(-1+b-2c)=0),(z^2(1+b^2+c^2)=1):}$
Ho trovato:
$c=0$
$b=1$
$x=1/sqrt(3)$
$y=1/sqrt(6)$
$z=1/sqrt(2)$
Da cui:
$(xz)/y=1$
Ancora grazie infinite
$A*A^t=I$
Ho ricavato così un sistema:
$\{(3x^2=1),(xz(-1+b+c)=0),(6y^2=1),(xy(-1+b-2c)=0),(z^2(1+b^2+c^2)=1):}$
Ho trovato:
$c=0$
$b=1$
$x=1/sqrt(3)$
$y=1/sqrt(6)$
$z=1/sqrt(2)$
Da cui:
$(xz)/y=1$
Ancora grazie infinite
Sì, infatti fare \(v_i^tv_j\) significa calcolarsi l'elemento di posto \((i,j)\) della matrice \(AA^t\) 
ma mi sembrava più comodo da scrivere coi vettori. L'unico appunto è che
\[
x^2=a>0\iff x=\pm \sqrt{a}
\]
e i segni di \(x,y,z\) sono fissati dalla condizione sul determinante.
Nel tuo esercizio prendendo
\[x=-1/\sqrt{3},\,y=1/\sqrt{6},\,z=1/\sqrt{2}\]
troveresti \(xz/y=-1\) che non soddisfa \(\det A=+1\), ossia non è una rotazione; d'altra parte la scelta
\[
x=-1/\sqrt{3},\,y=1/\sqrt{6},\,z=-1/\sqrt{2}
\]
è ammissibile, ma tu l'hai esclusa
Ma dal momento che l'esercizio non richiedeva di determinare \(x,y,z\) separatamente, la cosa furba è di prendere
\[
\det A=6xyz=1\]
e dividere tutto per \(6y^2\ne0\)
\[ \frac{xz}{y}=\frac{1}{6y^2}
\]
"bypassando" le considerazioni sui segni (\(y^2=1/6\) di sicuro).
ma mi sembrava più comodo da scrivere coi vettori. L'unico appunto è che \[
x^2=a>0\iff x=\pm \sqrt{a}
\]
e i segni di \(x,y,z\) sono fissati dalla condizione sul determinante.
Nel tuo esercizio prendendo
\[x=-1/\sqrt{3},\,y=1/\sqrt{6},\,z=1/\sqrt{2}\]
troveresti \(xz/y=-1\) che non soddisfa \(\det A=+1\), ossia non è una rotazione; d'altra parte la scelta
\[
x=-1/\sqrt{3},\,y=1/\sqrt{6},\,z=-1/\sqrt{2}
\]
è ammissibile, ma tu l'hai esclusa
Ma dal momento che l'esercizio non richiedeva di determinare \(x,y,z\) separatamente, la cosa furba è di prendere
\[
\det A=6xyz=1\]
e dividere tutto per \(6y^2\ne0\)
\[ \frac{xz}{y}=\frac{1}{6y^2}
\]
"bypassando" le considerazioni sui segni (\(y^2=1/6\) di sicuro).
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