Rivestimento universale (esercizio)

[angus89]

Determinare il rivestimento universale di $X=C_1 \cup C_2 \cup C_3 \sub RR^2$ dove

$C_1={(x-1)^2+(y-3)^2=1} \sub RR^2$
$C_2={(x-1)^2+(y+3)^2=1} \sub RR^2$
$C_3={x=0} \sub RR^2$


Sostanzialmente lo spazio è questo


Forse faccio ragionamenti che mi portano fuori strada ma proprio non riesco a trovarlo...

[angus89]

up

[apatriarca]

Ad occhio, dovrebbe essere lo spazio formato unendo tante unità fatte come la seguente: la retta $C_3$ da cui escono al posto dei cerchi 4 segmenti che si uniscono a quelli degli altri in modo opportuno. È difficile da descrivere.. in pratica devi pensare che ogni volta che prendi un cerchio, attraversi un segmento che ti porta ad una copia del blocco descritto sopra e che l'unico modo per tornare alla copia iniziale è quella di ripercorrere a ritroso tutti i passi. Posso cercare di fare un disegno se desideri. Assomiglia al grafo di Caley del gruppo libero con due generatori (al posto dei nodi c'è in più una retta che esce e i segmenti perpendicolari non sono messi sulla stessa altezza.

[angus89]

Si effettivamente credo che con un disegno andrebbe meglio

[apatriarca]

Mi viene decisamente difficile fare il disegno. Dall'alto apparirebbe così:

Ma non è piano. Ci sono delle rette perpendicolari al piano del disegno ad ogni nodo di quel grafo e i segmenti che partono nelle direzioni orizzontali e verticali (corrispondenti ai due cerchi) sono disposti su due livelli diversi.