Rivestimeno non normale della bottiglia di Klein

[Angus1956]

(a) Fare un esempio di un rivestimento connesso non normale $p:(\tilde X, \tilde x_0)->(K,x_0)$ dove $K$ è la bottiglia di Klein.
(b) Si scelga $x_0inK$ e $\tilde x_0 in p^-1(x_0)$. Dire a cosa corrisponde $H=p_{star}(pi_1((\tilde X, \tilde x_0)))$ in $pi_1(K,x_0)$ per il rivestimento scelto.
(c) E' vero che $H$ non dipende dal punto base $\tilde x_0 $ scelto?.

Io ho fatto così:
(a) Consideriamo la glissosimmetria $a: (x,y)->(-x,y+1)$ e la traslazione $b: (x,y)->(x+1,y)$, abbiamo che $pi_1(K)$ è isomorfo al gruppo delle isometrie di $RR^2$ generato da $a$ e $b$, e si ha che il rivestimento con $\tilde X=RR_{/}^2$ non è normale poichè $$ non è normale in $pi_1(K)$ e si ha che $RR_{/}^2$ è omeomorfo al nastro di Mobius.

(b) Consideriamo il seguente disegno del rivestimento considerato:



in questo caso $H=~=ZZ$ in $pi_1(K) ~= rtimes ~= ZZrtimesZZ$

(c) No, $H$ dipende dal punto base scelto: infatti noi sappiamo che presi $\tilde x_0,\tilde x_1 in p^-1(x_0)$ vale che $p_{star}(pi_1(\tilde X, \tilde x_1))=g*p_{star}(pi_1(\tilde X, \tilde x_0))*g^-1$ dove $g=[p \circ gamma]$ dove $gamma$ è un cammino da $\tilde x_0$ a $\tilde x_1$. Se $H$ fosse indipendente dal punto base scelto allora $p_{star}(pi_1(\tilde X, \tilde x_0))=p_{star}(pi_1(\tilde X, \tilde x_1))$, ovvero $p_{star}(pi_1(\tilde X, \tilde x_0))$ è un sottogruppo normale di $pi_1(K,x_0)$, il che è assurdo per quanto visto nei punti precedenti

Può andare bene?