Risolvente di una matrice
Salve,
sono Enrico ed è mi sono appena iscritto al forum. Mi sembra di aver capito che non c'è necessità di presentarsi in un apposito spazio prima di chiedere aiuto; se mi sono sbagliato, correggeTEmi e provvederò a correggeRmi.
Ad ogni modo, sto studiando operatori non normali, pseudo spettri ecc e mi sono "bloccato" su certe affermazioni che non devo dimostrare in sede d'esame ma che, tuttavia, mi piacerebbe capire a fondo per fissare meglio i concetti in mente.
Viene definito risolvente di una matrice $A$ l'operatore matriciale
\[R(z) = (zI - A)^{-1} \quad\text{con}\quad z\in \mathbb{C}\]
Viene poi detto che se $A$ è una matrice normale allora la norma euclidea del risolvente è
\[\| R(z) \|_2 = \frac{1}{\min_{i}|z-\lambda_i|}\]
in cui $\lambda_i \in \Lambda(A)$ con $i =1, 2, ..., n$ essendo $n$ la dimensione di $A$.
Sono convinto che sia una cavolata, ma mi mi sfugge l'ovvietà.
Se $A$ è normale vuol dire che $A A^\text{H} = A^\text{H} A$.
La matrice $zI - A$ ha banalmente autovalori $z-\lambda_i$, quindi la scrittura di sopra significa che \(\| R(z) \|_2\) è il massimo autovalore (in modulo) di $(zI -A)^{-1}$, cioè il suo raggio spettrale,
\[\| R(z) \|_2 = \rho\{(zI-A)^{-1}\} = \rho\{R(z)\}\]
La la usata è però quella euclidea, quindi
\[\|R\|_2 = \sqrt{\rho\{R(z)^\text{H}R(z)\}}\]
Ammesso e non concesso che non ho scritto cavolate, se l'uguaglianza tra le ultime due espressioni è ovvia per la supposta normalità di $A$ (nel qual caso mi sfugge perché) allora ok. Ma se no?
Comunque penso di aver girato troppo in torno a qualcosa di banale. Qualcuno mi aiuta?
sono Enrico ed è mi sono appena iscritto al forum. Mi sembra di aver capito che non c'è necessità di presentarsi in un apposito spazio prima di chiedere aiuto; se mi sono sbagliato, correggeTEmi e provvederò a correggeRmi.
Ad ogni modo, sto studiando operatori non normali, pseudo spettri ecc e mi sono "bloccato" su certe affermazioni che non devo dimostrare in sede d'esame ma che, tuttavia, mi piacerebbe capire a fondo per fissare meglio i concetti in mente.
Viene definito risolvente di una matrice $A$ l'operatore matriciale
\[R(z) = (zI - A)^{-1} \quad\text{con}\quad z\in \mathbb{C}\]
Viene poi detto che se $A$ è una matrice normale allora la norma euclidea del risolvente è
\[\| R(z) \|_2 = \frac{1}{\min_{i}|z-\lambda_i|}\]
in cui $\lambda_i \in \Lambda(A)$ con $i =1, 2, ..., n$ essendo $n$ la dimensione di $A$.
Sono convinto che sia una cavolata, ma mi mi sfugge l'ovvietà.
Se $A$ è normale vuol dire che $A A^\text{H} = A^\text{H} A$.
La matrice $zI - A$ ha banalmente autovalori $z-\lambda_i$, quindi la scrittura di sopra significa che \(\| R(z) \|_2\) è il massimo autovalore (in modulo) di $(zI -A)^{-1}$, cioè il suo raggio spettrale,
\[\| R(z) \|_2 = \rho\{(zI-A)^{-1}\} = \rho\{R(z)\}\]
La la usata è però quella euclidea, quindi
\[\|R\|_2 = \sqrt{\rho\{R(z)^\text{H}R(z)\}}\]
Ammesso e non concesso che non ho scritto cavolate, se l'uguaglianza tra le ultime due espressioni è ovvia per la supposta normalità di $A$ (nel qual caso mi sfugge perché) allora ok. Ma se no?
Comunque penso di aver girato troppo in torno a qualcosa di banale. Qualcuno mi aiuta?
Risposte
Se una matrice è normale si può diagonalizzare con un cambio di coordinate ortonormale. Quindi ti basta considerare il caso in cui $A$ è diagonale. La norma di una matrice diagonale è il massimo modulo dei suoi elementi diagonali, cioè dei suoi autovalori.
A, giusto!! Se il cambio è ortonormale significa solo che sto girando la testa e usando uno specchio, quindi non cambia nulla tra i due spazi.
E senti, il fatto che la norma di una matrice diagonale è il massimo modulo in diagonale (che io deduco dalla coincidenza tra \(\|\cdot\|_1\) e \(\|\cdot\|_\infty\)) vale per tutte le norme? E perché? Grazie
E senti, il fatto che la norma di una matrice diagonale è il massimo modulo in diagonale (che io deduco dalla coincidenza tra \(\|\cdot\|_1\) e \(\|\cdot\|_\infty\)) vale per tutte le norme? E perché? Grazie
Tutto questo discorso vale solo con la norma 2. Solo quella è preservata dalle matrici unitarie.
Invece il fatto che la norma di una matrice diagonale sia il massimo modulo dei suoi autovalori penso sia vero un po' con tutte le norme "utili". Sicuramente è vero per tutte le norme $p$.
Invece il fatto che la norma di una matrice diagonale sia il massimo modulo dei suoi autovalori penso sia vero un po' con tutte le norme "utili". Sicuramente è vero per tutte le norme $p$.
Grazie mille
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo