Risoluzione sistema Rouche-Capelli

[gael90rm]

Salve a tutti
Vorrei sapere se è giusta la risoluzione di questo esercizio perchè non mi convince.

Ho un sistema:

[tex]x1+ix2-x4=a[/tex]
[tex]ix1-x2-ix4=2i[/tex]
[tex]x1+x2+ix4=1[/tex]

con [tex]x \in C^4[/tex]

Scrivo la matrice completa dei coefficienti

$ ((1,i,0,-1,|,a),(i,-1,0,,-i,|,2i),(1,1,0,i,|,1)) $

Il rango di questa matrice è quell che poi mi devo calcolare
Per la matrice incompleta invece è 2
Quindi il sistema è risolubile con Rouche-Capelli

Devo trovare quindi il parametro [tex]a[/tex] per cui il determinante del minore 3x3 della matrice completa sia 0 (quindi rango = 2)

Prrendo quindi un minore 3x3 della matrice completa con det diverso da 0 e mi calcolo a

Mi viene quindi [tex]a=2[/tex]

Ora prendo un minore 2x2 della matrice incompleta con det diverso da 0 e mi scrivo il sistema associato

$((1,i),(1,1))$ che ha det = 1-i

Il sistema associato è

[tex]x1+ix2=x4+2[/tex]
[tex]x1+x2=1-ix4[/tex]

Ora mi calcolo x1 e x2 utilizzando Rouche Capelli, quindi sostituendo rispettivamente alla 1 e alla seconda colonna della matrice associata al sistema, la colonna dei termini dopo l'uguale. Mi calcolo cosi dx1 e dx2

Ora x1 e x2 sono uguali rispettivamente a dx1/det e dx2/det

e ora?

Io ho detto che l insieme delle soluzioni è

[tex]S=s+ker La[/tex]

La dimensione del nucleo è 2 in quanto la dimensione di C^4 è 4, la dimensione dell immagine di A è 2 (in quanto il rango è 2) e quindi per il teorema delle dimensioni la dimensione del nucleo è 2.
Come trovo il nucleo?

E' giusto il procedimento sopra descritto?



E' tutto sbagliato?

Grazie e buona giornata..