Risoluzione sistema omogeneo
Salve. Sto cercando di risolvere il seguente sistema omogeneo del tipo $A*x=0$.
$\{(x-2y-z=0),(-x+2y+z=0),(x-2y-z=0):}$
Il problema è che non riesco proprio a risolverlo. Se qualcuno può aiutarmi magari facendomi vedere i passaggi. Grazie in anticipo
$\{(x-2y-z=0),(-x+2y+z=0),(x-2y-z=0):}$
Il problema è che non riesco proprio a risolverlo. Se qualcuno può aiutarmi magari facendomi vedere i passaggi. Grazie in anticipo
Risposte
Il problema che tale sistema ha infinite soluzioni.
Infatti a prima vista a te sembra un sistema con 3 equazioni e 3 incognite e quindi determinato, ma non è così.
$\{(x - 2y - z = 0),(-x+2y+z=0),(x - 2y - z = 0):}$
Infatti la prima equazione è uguale all'ultima e quindi possiamo toglierla e abbiamo allora solo 2 equazioni
$\{(x - 2y - z = 0),(-x+2y+z=0):}$
Poi la seconda equazione è meno la prima, e quindi (dato che devono essere uguali a 0) possiamo togliere anche questa e avere una sola equazione da risolvere:
$x - 2y + z = 0$
che ha chiaramente infinite soluzioni.
Infatti a prima vista a te sembra un sistema con 3 equazioni e 3 incognite e quindi determinato, ma non è così.
$\{(x - 2y - z = 0),(-x+2y+z=0),(x - 2y - z = 0):}$
Infatti la prima equazione è uguale all'ultima e quindi possiamo toglierla e abbiamo allora solo 2 equazioni
$\{(x - 2y - z = 0),(-x+2y+z=0):}$
Poi la seconda equazione è meno la prima, e quindi (dato che devono essere uguali a 0) possiamo togliere anche questa e avere una sola equazione da risolvere:
$x - 2y + z = 0$
che ha chiaramente infinite soluzioni.
Provo a darti una mano io. Il sistema è di tre equazioni in tre incognite, ma la terza equazione è uguale alla prima, quindi inutile al fine di risolvere il sistema, ci rimangono le altre due. Dalla prima isoliamo la $x$, abbiamo quindi ${(x=2y+z), (-2y-z+2y+z=0):}$
la seconda è un'identità, quindi non ci da informazioni per la risoluzione. Le soluzioni sono nella forma $(2alpha+beta, alpha, beta)$
la seconda è un'identità, quindi non ci da informazioni per la risoluzione. Le soluzioni sono nella forma $(2alpha+beta, alpha, beta)$
giusto è vero grazie mille...
Quindi un sistema è omogeneo quando ha infinite soluzioni?
Un sistema è omogeneo quando il vettore dei termini noti è nullo.
Un sistema omogeneo ha sempre, come minimo, la soluzione nulla.
Un sistema omogeneo ha sempre, come minimo, la soluzione nulla.
no...un sistema è omogeneo quando i termini noti sono tutti nulli.
Quindi un sistema omogeneo che apparentemente sembra di $3$ equazioni in $3$ incognite diventa solo una come nell'esercizio, e possiamo dire che ha infinite a una soluzione? $oo^2$
"Paola90":
no...un sistema è omogeneo quando i termini noti sono tutti nulli.
Scusa e io che cosa ho scritto?
Sergio, guarda che sei tu che sbagli!
La seconda è proprio l'opposto della prima.
Controlla bene
La seconda è proprio l'opposto della prima.
Controlla bene
"svarosky90":
$\{(x-2y-z=0),(-x+2y+z=0),(x-2y-z=0):}$
In pratica la seconda e la terza equazione possono essere "buttate via".
Resta solo l'equazione [tex]x-2y-z=0[/tex].
Finiamo l'esercizio:
[tex]x-2y-z=0[/tex]
mi ricavo la x:
[tex]x = 2y + z[/tex]
quindi le infinite soluzioni sono del tipo (ho posto [tex]y = t[/tex] ; [tex]z = s[/tex])
[tex]\left( \begin{array}{c}
x \\
y \\
z
\end{array} \right) = t \left( \begin{array}{c}
2 \\
1 \\
0
\end{array} \right) + s \left( \begin{array}{c}
1 \\
0 \\
1
\end{array} \right)[/tex]
[tex]x-2y-z=0[/tex]
mi ricavo la x:
[tex]x = 2y + z[/tex]
quindi le infinite soluzioni sono del tipo (ho posto [tex]y = t[/tex] ; [tex]z = s[/tex])
[tex]\left( \begin{array}{c}
x \\
y \\
z
\end{array} \right) = t \left( \begin{array}{c}
2 \\
1 \\
0
\end{array} \right) + s \left( \begin{array}{c}
1 \\
0 \\
1
\end{array} \right)[/tex]
Quello che ho scritto io era corretto quindi, no?!
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