Risoluzione sistema lineare
Ciao, vorrei sapere se ho svolto bene la risoluzione di questo sistema lineare in quattro incognite e tre equazioni la cui matrice completa è:
$((a, b, 0, 1, b),(0, b, b, a, b-1),(b, 0, 1, 0, a))$
Ho svolti i determinanti dei minroi $3x3$ della matrice incompleta ed ho visto che il valore comune a tutti e tre è $b$.
Se $b!=0 -> rg(A)=3=rg(A|B), AAa -> infty^1 sol$
Se $b=0 -> rg(A)=2$ e $rg(A|B)=3, AAa ->$ nessuna soluzione.
$((a, b, 0, 1, b),(0, b, b, a, b-1),(b, 0, 1, 0, a))$
Ho svolti i determinanti dei minroi $3x3$ della matrice incompleta ed ho visto che il valore comune a tutti e tre è $b$.
Se $b!=0 -> rg(A)=3=rg(A|B), AAa -> infty^1 sol$
Se $b=0 -> rg(A)=2$ e $rg(A|B)=3, AAa ->$ nessuna soluzione.
Risposte
Se [tex]a = b = 0 \rightarrow rg(A)=2\not=rg([A|b])=3 \rightarrow[/tex] non compatibile;
Altrimenti (cioè in qualsiasi altro caso diverso da quello sopra) [tex]rg(A)=rg([A|b])=3 \rightarrow[/tex] compatibile [tex]\infty ^{1}[/tex] soluzioni.
Prova a ripensarci ...
Altrimenti (cioè in qualsiasi altro caso diverso da quello sopra) [tex]rg(A)=rg([A|b])=3 \rightarrow[/tex] compatibile [tex]\infty ^{1}[/tex] soluzioni.
Prova a ripensarci ...
[mod="Martino"]Mirino06, sei pregato di modificare il titolo mettendone uno che specifichi l'argomento. Clicca su "modifica" nel tuo intervento. Grazie.[/mod]
Io ho svolto questo determinanti:
$((a,b,0),(0,b,b),(b,o,1))=ab+b^3$
$((a,0,1),(0,b,a),(b,1,0))=a^2+b^2$
$((b,0,1),(b,b,a),(0,1,0))=-ab+b$
Però non trovo valori comuni ai tre determinanti.
$((a,b,0),(0,b,b),(b,o,1))=ab+b^3$
$((a,0,1),(0,b,a),(b,1,0))=a^2+b^2$
$((b,0,1),(b,b,a),(0,1,0))=-ab+b$
Però non trovo valori comuni ai tre determinanti.
Non vedo perché tu debba procedere in questo modo ...
Consideriamo la matrice incompleta [tex]A[/tex]
1) Cerca un minore non singolare (consiglio: quando ci sono dei parametri, se è possibile, sceglilo indipendente da questi ultimi)
nel tuo caso:
[tex]\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{bmatrix}[/tex]
2) Poi lo orli. Quindi con la prima e in seguito con la seconda colonna della matrice -> scrivi le tue conclusioni
Consideriamo la matrice incompleta [tex][A|b][/tex]
3) Vedi se, orlando il tuo minore di partenza non singolare con la colonna dell'incompleta, questo si annulla per gli stessi valori per cui hai trovato rg(A)=2.
Se si allora hai rg([A|b])=2 per quei valori, altrimenti =3.
Però in questo caso si vede subito che i il rg è almeno 1 (perché c'è un minore non singolare indipendente da entrambi i parametri) e che i ranghi saranno =2 solo se a=b=0. Comunque se anche non lo noti non è un problema, segui il solito ragionamento per la discussione della compatibilità (come ti mostravo sopra) e giungerai alle stesse conclusioni.
Ciao!
Consideriamo la matrice incompleta [tex]A[/tex]
1) Cerca un minore non singolare (consiglio: quando ci sono dei parametri, se è possibile, sceglilo indipendente da questi ultimi)
nel tuo caso:
[tex]\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{bmatrix}[/tex]
2) Poi lo orli. Quindi con la prima e in seguito con la seconda colonna della matrice -> scrivi le tue conclusioni
Consideriamo la matrice incompleta [tex][A|b][/tex]
3) Vedi se, orlando il tuo minore di partenza non singolare con la colonna dell'incompleta, questo si annulla per gli stessi valori per cui hai trovato rg(A)=2.
Se si allora hai rg([A|b])=2 per quei valori, altrimenti =3.
Però in questo caso si vede subito che i il rg è almeno 1 (perché c'è un minore non singolare indipendente da entrambi i parametri) e che i ranghi saranno =2 solo se a=b=0. Comunque se anche non lo noti non è un problema, segui il solito ragionamento per la discussione della compatibilità (come ti mostravo sopra) e giungerai alle stesse conclusioni.
Ciao!
Se la orlo con la prima e la secondo colonna ottengo quindi questi due determinanti?
$((a,0,1),(0,b,a),(b,1,0))$
$((b,0,1),(b,b,a),(0,1,0))$
$((a,0,1),(0,b,a),(b,1,0))$
$((b,0,1),(b,b,a),(0,1,0))$
Si!
Quindi i determinanti sono:
per la prima $a^2=-b^2$
Per la seconda $b(1-a)=0$
Però questi due minori non si annullano per uno stesso valroe. Quindi il rango della matrice incompleta è 3?
per la prima $a^2=-b^2$
Per la seconda $b(1-a)=0$
Però questi due minori non si annullano per uno stesso valroe. Quindi il rango della matrice incompleta è 3?
Si
Allora perché qui ti veniva $rg(A)=2$?
"*Ely":
Se [tex]a = b = 0 \rightarrow rg(A)=2\not=rg([A|b])=3 \rightarrow[/tex] non compatibile;
Altrimenti (cioè in qualsiasi altro caso diverso da quello sopra) [tex]rg(A)=rg([A|b])=3 \rightarrow[/tex] compatibile [tex]\infty ^{1}[/tex] soluzioni.
Prova a ripensarci ...
Sostituisci a=b=0 ti deve venire per forza rango 2 per A.
Sì, ma non ho capito come fare per trovare questa condizione.
Perché è l'unico caso per cui possano essere vere entrambe.
(Quando b=0 e a fa quel che vuole "per la seconda", ed a però deve essere =0 per verificare la prima)
(Quando b=0 e a fa quel che vuole "per la seconda", ed a però deve essere =0 per verificare la prima)
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