Risoluzione esercizio autovalori
Salve a tutti, è tutto il pomeriggio che provo a risolvere l'esercizio B di questa prova d'esame :
http://www.dmi.units.it/geo-ing/materia ... 270112.pdf
ma non mi sono chiare un po' di cose.
Partiamo dalla determinazione degli autovalori della matrice associata alla funzione:
\(\ f(x,y,z,t) = (x-y, -y+x, \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} y - z, \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} y - t)\)
La matrice risultante è (per il calcolo degli autovalori):
$ ((1-\lambda\, -1, 0, 0), (-1, 1-\lambda\, 0, 0), (\frac{3}{2}, - \frac{3}{2}, -1-\lambda\, 0), (\frac{3}{2}, - \frac{3}{2}, 0 ,-1-\lambda\)) $
e gli autovalori risultanti sono 0, -1 con molteplicità 2 e 2.
Per l'autovalore 0 ottengo:
$ ((1, -1, 0, 0), (-1, 1, 0, 0), (\frac{3}{2}, - \frac{3}{2}, -1, 0), (\frac{3}{2}, - \frac{3}{2}, 0 ,-1)) $
e quindi il sistema lineare associato:
${(x - y = 0),(-x + y = 0),(\frac{3}{2} x - \frac{3}{2} y - z = 0),(\frac{3}{2} x - \frac{3}{2} y - t = 0):} $ ${(x = y),(x = y),(z= \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} y),(t = \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} y):} $
E da qui non so cosa prendere come soluzioni. Nel senso che non so come determinare la base, ovvero non capisco se devo prendere come soluzione un vettore che soddisfi tutte le proprietà del sistema o qualcos'altro. Cioè il vettore della base è (1,1,0,0) ?
Continuando poi a trovare le basi degli autospazi:
Per l'autovalore -1 che ha molteplicità 2:
$ ((0, -1, 0, 0), (-1, 0, 0, 0), (\frac{3}{2}, - \frac{3}{2}, -2, 0), (\frac{3}{2}, - \frac{3}{2}, 0 ,-2)) $
Da cui il sistema lineare associato:
${(y = 0),(x = 0),(\frac{3}{2} x - \frac{3}{2} y - 2z = 0),(\frac{3}{2} x - \frac{3}{2} y - 2t = 0):} $ ${(x = 0),(x = 0),(z= 0),(t = 0):} $
Dov'è l'errore?
Manca ancora l'ultimo autospazio ma non ha senso che lo scriva se non riesco a risolvere questi. Sicuramente sono io che sono scemo (
) ma proprio non riesco a capire dov'è il problema.
Grazie mille in anticipo
http://www.dmi.units.it/geo-ing/materia ... 270112.pdf
ma non mi sono chiare un po' di cose.
Partiamo dalla determinazione degli autovalori della matrice associata alla funzione:
\(\ f(x,y,z,t) = (x-y, -y+x, \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} y - z, \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} y - t)\)
La matrice risultante è (per il calcolo degli autovalori):
$ ((1-\lambda\, -1, 0, 0), (-1, 1-\lambda\, 0, 0), (\frac{3}{2}, - \frac{3}{2}, -1-\lambda\, 0), (\frac{3}{2}, - \frac{3}{2}, 0 ,-1-\lambda\)) $
e gli autovalori risultanti sono 0, -1 con molteplicità 2 e 2.
Per l'autovalore 0 ottengo:
$ ((1, -1, 0, 0), (-1, 1, 0, 0), (\frac{3}{2}, - \frac{3}{2}, -1, 0), (\frac{3}{2}, - \frac{3}{2}, 0 ,-1)) $
e quindi il sistema lineare associato:
${(x - y = 0),(-x + y = 0),(\frac{3}{2} x - \frac{3}{2} y - z = 0),(\frac{3}{2} x - \frac{3}{2} y - t = 0):} $ ${(x = y),(x = y),(z= \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} y),(t = \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} y):} $
E da qui non so cosa prendere come soluzioni. Nel senso che non so come determinare la base, ovvero non capisco se devo prendere come soluzione un vettore che soddisfi tutte le proprietà del sistema o qualcos'altro. Cioè il vettore della base è (1,1,0,0) ?
Continuando poi a trovare le basi degli autospazi:
Per l'autovalore -1 che ha molteplicità 2:
$ ((0, -1, 0, 0), (-1, 0, 0, 0), (\frac{3}{2}, - \frac{3}{2}, -2, 0), (\frac{3}{2}, - \frac{3}{2}, 0 ,-2)) $
Da cui il sistema lineare associato:
${(y = 0),(x = 0),(\frac{3}{2} x - \frac{3}{2} y - 2z = 0),(\frac{3}{2} x - \frac{3}{2} y - 2t = 0):} $ ${(x = 0),(x = 0),(z= 0),(t = 0):} $
Dov'è l'errore?
Manca ancora l'ultimo autospazio ma non ha senso che lo scriva se non riesco a risolvere questi. Sicuramente sono io che sono scemo (
) ma proprio non riesco a capire dov'è il problema. Grazie mille in anticipo
Risposte
Nel primo caso noti che hai due righe eliminabili perché uguali alle altre dunque per compensarle introduci due parametri e trovi i valori delle quattro incognite, in questo modo risali immediatamente all'autospazio generato.
Per quanto riguarda la seconda parte commetti un errore che hai commesso anche nella prima parte ma che in quel caso non ha cambiato il risultato; non devi sostituire l'autovalore nella matrice per il calcolo degli autovalori ma la formula è la seguente:
$ ( ( 1 , -1 , 0 , 0 ),( -1 , 1 , 0 , 0 ),( 3/2 , -3/2 , -1 , 0 ),( 3/2 , -3/2 , 0 , -1 ) ) $ $ ( ( x ),( y ),( z ),( t ) ) =lambda( ( x ),( y ),( z ),( t ) ) $ (dove $ lambda $ è l'autovalore)... e risolvi il sistema ottenuto.
Per quanto riguarda la seconda parte commetti un errore che hai commesso anche nella prima parte ma che in quel caso non ha cambiato il risultato; non devi sostituire l'autovalore nella matrice per il calcolo degli autovalori ma la formula è la seguente:
$ ( ( 1 , -1 , 0 , 0 ),( -1 , 1 , 0 , 0 ),( 3/2 , -3/2 , -1 , 0 ),( 3/2 , -3/2 , 0 , -1 ) ) $ $ ( ( x ),( y ),( z ),( t ) ) =lambda( ( x ),( y ),( z ),( t ) ) $ (dove $ lambda $ è l'autovalore)... e risolvi il sistema ottenuto.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo