Risoluzione di un sistema lineare omogeneo

[Matricola252]

Buona sera,
avrei un problema con un certo esercizio di geometria 1 di cui non riesco a comprendere la risoluzione:
dato il sistema:
3x1+x2+x3+x4=0
5x1-x2+x3-x4=0
trovare le soluzioni.
Ho già creato la matrice delle incognite e ridotta ottenendo rango 2, quindi so che dipende da due parametri. Premettendo che non credo di aver ben compreso come trovo esattamente la dipendenza da tali parametri, come posso risolverlo?
Le soluzioni sono (-s,-t-s, 4s , t)
Grazie.

[Magma1]

Intendi questo:

$( ( 3 , 1,1,1 ),( 5,-1,1,1 ) ) ((x),(y),(z),(t))=((0),(0))$

Posta la tua riduzione per righe e le soluzioni che ti sono venute e poi ne parliamo

[Matricola252]

Okok, io l'ho ridotta in questo modo


$ ( ( 3 , 1 , 1 , 1 ),( 0 , -4 , -1 , -4 ) ) $
Anche se ho il presentimento che sia sbagliata, ma teoricamente non sarebbe così ridotta?

[Matricola252]

e le soluzioni non sono riuscito a trovarle perchè mi viene dipendente da 1 solo parametro con 3 incognite

[Magma1]

"Matricola252":e le soluzioni non sono riuscito a trovarle perchè mi viene dipendente da 1 solo parametro con 3 incognite

In che senso? Il numero di soluzioni è indipendente da come riduci: ha $2$ equazioni in $4$ incognite quindi, per Kronecker-Rouché-Capelli, si hanno $oo^(4-2)$ soluzioni!


Non riesco a capire che operazioni tu abbia fatto sulla seconda riga

Allora, dato il sistema

$ ( ( 3 , 1,1,1 ),( 5,-1,1,1 ) ) ((x),(y),(z),(t))=((0),(0)) $

io farei la seguente riduzione:

$R_2-> R_2-R_1 qquad -> ( ( 3 , 1,1,1 ),( 2,-2,0,0 ) ) ((x),(y),(z),(t))=((0),(0)) $
$R_2-> -1/2*R_2 qquad -> ( ( 3 , 1,1,1 ),( -1,1,0,0 ) ) ((x),(y),(z),(t))=((0),(0)) $
$R_1-> R_1+3R_2 qquad -> ( ( 0 , 4,1,1 ),( -1,1,0,0 ) ) ((x),(y),(z),(t))=((0),(0)) $

prendo come pivot $a_(13)$ e$a_(22)$ e le incognite libere le "porto" tra i termini noti:

${ ( x inRR ),( y=x ),(z=-4y-t),( tinRR ):} hArr { (x in RR),( y=x ),( z=-4x-t ),( tinRR ):} $

Quindi un vettore soluzione è

$((x),(x),(-4x-t),(t))hArr x((1),(1),(-4),(0))+t((0),(0),(-1),(1))$

Una base di soluzioni è

${((1),(1),(-4),(0)),((0),(0),(-1),(1))}$

[Matricola252]

grazie mille, credo ora di aver capito bene la risoluzione!!!!

[Bokonon]

"Magma":
Allora, dato il sistema

$ ( ( 3 , 1,1,1 ),( 5,-1,1,1 ) ) ((x),(y),(z),(t))=((0),(0)) $

Devo interromperti qua
Ricontrolla il valore della quarta colonna-seconda riga....è -1

[Magma1]

"Bokonon":
il valore della quarta colonna-seconda riga....è -1

Apposto, allora le soluzioni proposte

$((-1),(-1),(4),(0)), ((0),(-1),(0),(1))$

soddisfano il sistema

$ ( ( 3 , 1,1,1 ),( 5,-1,1,-1 ) ) ((x),(y),(z),(t))=((0),(0)) $

[Bokonon]

"Magma":
Apposto, allora le soluzioni proposte

$((-1),(-1),(4),(0)), ((0),(-1),(0),(1))$

soddisfano il sistema

$ ( ( 3 , 1,1,1 ),( 5,-1,1,-1 ) ) ((x),(y),(z),(t))=((0),(0)) $

Quasi
Dovevi completare la soluzione generale:

$s((-1),(-1),(4),(0))+ t((0),(-1),(0),(1))=((-s),(-s-t),(4s),(t))$

[Magma1]

Hai ragione , pensavo a una base delle spazio delle soluzioni ma mi sono dimenticato le parentesi graffe

[Magma1]

A cosa è dovuto il bump?

$ ( ( 3 , 1,1,1 ),( 5,-1,1,-1 ) ) ((x),(y),(z),(t))=((0),(0)) $

$R_2->R_2+R_1 $

$ ( ( 3 , 1,1,1 ),(8,0,2,0 ) ) $

$R_2->1/2R_2 $

$ ( ( 3 , 1,1,1 ),(4,0,1,0 ) ) $

$(R_1 ->4R_1 )^^ ( R_2->3R_2 ) $

$ ( ( 12 , 4,4,4 ),(12,0,3,0 ) )$

$R_1 -> R_1-R_2 $

$ ( ( 0 , 4,1,4 ),(12,0,3,0 ) )$

$R_2 -> 1/3 R_2 $

$ ( ( 0 , 4,1,4 ),(4,0,1,0 ) )$

prendo come pivot $a_(12)$ e $a_(23)$, quindi

${ ( x in RR ),( 4y=-z-4t ),( z=-4x ),( t in RR ):} hArr { ( x in RR ),( 4y=+4x-4t ),( z=-4x ),( t in RR ):} hArr hArr { ( x in RR ),( y=x-t ),( z=-4x ),( t in RR ):}$

Un vettore soluzione è

$((x),(x+t),(-4x),(t))=x((1),(1),(-4),(0))+t((0),(-1),(0),(1))$

Una base del sottospazio delle soluzioni del sistema l. o. è

${((1),(1),(-4),(0)),((0),(-1),(0),(1))}$