[Risolto]Dubbio su Matrice Diagonalizzabile

[Narheru]

Salve!
Piacere di Conoscervi
Ho un dubbio su una matrice diagonalizzabile.
Sto svolgendo un tema d'esame(dello scorso appello) in vista della prossima seduta(Lunedì) e mi è sorto un dubbio.
L'ultimo punto dell'esercizio chiede:

Indicata con A la matrice Mee(f) associata ad f rispetto alla base canonica, stabilire se A risulta diagonalizzabile e , in caso affermativo, determinare una matrice P diagonalizzante e la corrispondente matrice diagonale D, a cui risulta simile

$f: (x,y,z,t): (3x+2t, 4y-z, x+8y-2z+2t, 2x+6t)$

$((3,0,0,2),(0,4,-1,0),(1,8,-2,2),(2,0,0,6))$

Ora, trovando gli autovalori, dovrei cercare il determinante di una matrice 4x4 ed applicare LaPlace. Però i conti sono molto lunghi e già so che con molta probabilità mi perderò.
Mi chiedevo quindi se non potessi usare la matrice ridotta a gradini(avendola già calcolata in un punto precedente dell'esercizio). Diverrebbe, quindi

$((3-\lambda,0,0,2),(0,4-\lambda,-1,0),(0,0,-\lambda,2/3),(0,0,0,-\lambda))$

ed il determinante sarebbe quindi uguale a $(3-\lambda)(4-\lambda)(\lambda)^2$, con autovalori 3(molteplicità algebirca 1), 4(molteplicità 1), 0(molteplicità 1?)
La prof. ha anche detto che il polinomio caratteristico dovrebbe trovarsi direttamente senza fare conti particolari, se può essere d'aiuto

[Sk_Anonymous]

"Narheru":Salve!
Piacere di Conoscervi

Altrettanto, benvenuto.

Forse, riguardo al problema proposto, potrebbe essere d'aiuto questo post?
Spero di aver "centrato" la questione.

Saluti.

[Narheru]

Purtroppo no, ma grazie
Il mio dubbio è proprio sul calcolo degli autovalori, non tanto su quel che viene dopo.

E' giusto usare la matrice "ridotta" per trovare gli autovalori o devo necessariamente trovarmeli attraverso la regola di LaPlace, allungando indefinitavamente l'esercizio?

[Sk_Anonymous]

"Narheru":
E' giusto usare la matrice "ridotta" per trovare gli autovalori o devo necessariamente trovarmeli attraverso la regola di LaPlace, allungando indefinitavamente l'esercizio?

In generale, no. (v. questo post).

Saluti.

[Narheru]

"alessandro8":[quote="Narheru"]
E' giusto usare la matrice "ridotta" per trovare gli autovalori o devo necessariamente trovarmeli attraverso la regola di LaPlace, allungando indefinitavamente l'esercizio?

In generale, no. (v. questo post).

Saluti.[/quote]

Mmm...ho capito, grazie .
Un possibile suggerimento per semplificarmi la vita per il calcolo degli autovalori con matrici così "grandi"?

[Sk_Anonymous]

"Narheru":
Un possibile suggerimento per semplificarmi la vita per il calcolo degli autovalori con matrici così "grandi"?

Temo che ci sia ben poco da fare; l'unica cosa che mi verrebbe in mente sarebbe quella più ovvia, cioè applicare la regola per il calcolo del determinante della matrice scegliendo una riga o una colonna che contenga il maggior numero possibile di coefficienti nulli (quando ci sono).

Nel caso della matrice in questione, per trovare gli autovalori si dovrebbe calcolare

$|(3-lambda,0,0,2),(0,4-lambda,-1,0),(1,8,-2-lambda,2),(2,0,0,6-lambda)|$

In questo caso converrebbe sviluppare il calcolo di questo determinante partendo dalla prima o dalla quarta riga.

Saluti.

[Narheru]

Cosa che avrei preferito evitare, ma niente.

Grazie mille per l'aiuto

[Sk_Anonymous]

Di nulla.

Saluti.