[RISOLTO]descrivere $varphi^-1(S)$

[starsuper]

Sia $varphi$ la trasformazione lineare da v3(R)-->v3(R) caratterizzata dalla seguente matrice:

$varphi$ = $((1,-1,0),(0,1,-1),(-1,0,1))$

e sia S l'iperpiano formato da

$S:x+y+z=0$

m si chiede di descrivere $varphi^-1(S)$

vediamo subito che $varphi$ non è invertibile, quindi:

$((1,-1,0),(0,1,-1),(-1,0,1))$ $((x1),(x2),(x3))$ = $((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))$ $((varphi1),(varphi2),(varphi3))$

$((1,-1,0),(0,1,-1),(-1,0,1))$ $((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))$ ->$varphi^-1$->$((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))$ $((1,0,-1),(-1,1,0),(0,-1,1))$

da cui:
${((x1-x3=0),(-x1+x2=0),(-x2+x3=0))}$

quindi:

S:x+y+z=0 ----> $varphi^-1(S)$:$ x1-x3-x1+x2-x2+x3=0$

e quindi 0=0


questa è una soluzione proposta puo essere giusta?

[Sk_Anonymous]

Non si comprenderebbe pienamente la conclusione. In ogni modo, utilizzando notazioni diverse:

$((x_1),(y_1),(z_1))=((1,-1,0),(0,1,-1),(-1,0,1))((x),(y),(z)) rarr \{(x_1=x-y),(y_1=y-z),(z_1=-x+z):}$

$[x_1+y_1+z_1=0] rarr [x-y+y-z-x+z=0] rarr [0=0] rarr [varphi^-1(S)=v^3(RR)]$

[starsuper]

e se non fosse stato 0=0 ? supponiamo venisse 2z=0 ?

[Sk_Anonymous]

Allora la controimmagine sarebbe stata, in rappresentazione cartesiana, il sottospazio $[z=0]$. Ho l'impressione che tu non colga l'essenza del procedimento. Se nel calcolarti l'equazione della controimmagine ottieni un'identità, vuole dire che tutti i vettori di partenza vengono mandati nei vettori appartenenti al sottospazio immagine in esame. Se, viceversa, ottieni $[z=0]$, vuole dire che solo i vettori con la terza componente nulla vengono mandati nei vettori appartenenti al sottospazio immagine. Voglio dire, alla fine del procedimento ottieni l'equazione cartesiana della controimmagine. L'unico modo di rappresentare tutto lo spazio di partenza è esprimere un'identità. Del resto, proprio un'identità non impone alcuna condizione alle componenti dei vettori appartenenti allo spazio di partenza.

[starsuper]

Capito tutto, grazie !