[RISOLTO] Sistema lineare.... vedere se compatibile?
$ { ( x + hy + z + ht = 0 ),( 2y + (h+1)z = h-1 ),( hx + ht = h ):} $
L'esercizio vuole sapere per quali valori del parametro h, il sistema è compatibile.
__________________________________
Come ho cercato di risolverlo io: Il sist è compatibile se il rango di (a) = rango di (b) dove (a), (b) sono rispettivamente la matrice dei coefficienti e la matrice completa.
Ma quando mi trovo che il rango di (a) è 3 per $ h != -2,0,1 $ . Il rango di (b) è anche 3 se considero il minore che ho preso in considerazione per (a) . Ma se provo altri minori mi escono altri numeri.
Ora vi chiedo dopo aver trovato tutti valori di h, come faccio a sapere quello giusto? (i valori -2,0,1 non ci sono nemmeno nelle soluzioni). Credo che ci sia un procedimento molto piu semplice anzichè provarli tutti.. chi me lo sa spiegare??
Grazie di cuore
L'esercizio vuole sapere per quali valori del parametro h, il sistema è compatibile.
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Come ho cercato di risolverlo io: Il sist è compatibile se il rango di (a) = rango di (b) dove (a), (b) sono rispettivamente la matrice dei coefficienti e la matrice completa.
Ma quando mi trovo che il rango di (a) è 3 per $ h != -2,0,1 $ . Il rango di (b) è anche 3 se considero il minore che ho preso in considerazione per (a) . Ma se provo altri minori mi escono altri numeri.
Ora vi chiedo dopo aver trovato tutti valori di h, come faccio a sapere quello giusto? (i valori -2,0,1 non ci sono nemmeno nelle soluzioni). Credo che ci sia un procedimento molto piu semplice anzichè provarli tutti.. chi me lo sa spiegare??
Grazie di cuore
Risposte
Il sistema è compatibile solo per $h=-2,h!=0,h!=1$.
Basta calcolare il rango della matrice incompleta e quella completa.
La matrice incompleta ha:
$r(a)=2$ per $h=0,h=1$
$r(a)=3$ per $h=-2$
La matrice completa ha:
$r(a)=3$ per $h=0,h=1,h=-2$.
Poichè il rango comune alle due matrici si ottiene solo per $h=-2$, il sistema risulterà compatibile solo per $h=-2,h!=0,h!=1$.
Correggetemi se ho sbagliato.
A presto...
Basta calcolare il rango della matrice incompleta e quella completa.
La matrice incompleta ha:
$r(a)=2$ per $h=0,h=1$
$r(a)=3$ per $h=-2$
La matrice completa ha:
$r(a)=3$ per $h=0,h=1,h=-2$.
Poichè il rango comune alle due matrici si ottiene solo per $h=-2$, il sistema risulterà compatibile solo per $h=-2,h!=0,h!=1$.
Correggetemi se ho sbagliato.
A presto...
Invece NO. La soluzione deve essere una di queste:
A: Per ogni h appart. a R; B: h=0, h=2; C: h=+2, -2; D: Per nessun valore di h
Come si fa?
A: Per ogni h appart. a R; B: h=0, h=2; C: h=+2, -2; D: Per nessun valore di h
Come si fa?
Si fa che è non è nessuna di quelle soluzioni ! Mi dispiace, l'ho rifatto per controllo e vien fuori nuovamente che il sistema è compatibile per $h!=0,h!=1$ e basta.
Ti ringrazio padulo, per la disponibilità e la pazienza e ovviamente per la soluzione. GRAZIE.
Devo dire che ho provato a risolverlo molto frettolosamente, mi esce così:
Per $h=0$ nessuna delle due matrici può avere rango $3$, perchè tutta l'ultima riga sarà composta da zeri. ma $r(A)=r(A')=2$ sì.
Per $h=-2$ il sistema è incompatibile, perchè $r(A')=3$ e $r(A)=2$
Per $h=1$ il sistema è incompatibile, perchè $r(A')=3$ e $r(A)=2$
Quindi a me risulta compatibile per $h!=2$, $h!=1$, ma mi sa che non ci siamo lo stesso. Potrebbe essere la B, ma non ha molto senso, è vero che per $h=2$ è compatibile, ma non lo trovo da nessuna parte questo numero.
Per $h=0$ nessuna delle due matrici può avere rango $3$, perchè tutta l'ultima riga sarà composta da zeri. ma $r(A)=r(A')=2$ sì.
Per $h=-2$ il sistema è incompatibile, perchè $r(A')=3$ e $r(A)=2$
Per $h=1$ il sistema è incompatibile, perchè $r(A')=3$ e $r(A)=2$
Quindi a me risulta compatibile per $h!=2$, $h!=1$, ma mi sa che non ci siamo lo stesso. Potrebbe essere la B, ma non ha molto senso, è vero che per $h=2$ è compatibile, ma non lo trovo da nessuna parte questo numero.
Ciao!
La soluzione corretta del tuo esercizio è la "A" cioè [tex]\forall h \in R[/tex]
Infatti se [tex]h=0 \rightarrow rg(A)=rg([A|b])=2[/tex]; se invece [tex]h\not=0 \rightarrow rg(A)=rg([A|b])=3[/tex]
Perciò il sistema è compatibile [tex]\forall h \in R[/tex]
La soluzione corretta del tuo esercizio è la "A" cioè [tex]\forall h \in R[/tex]
Infatti se [tex]h=0 \rightarrow rg(A)=rg([A|b])=2[/tex]; se invece [tex]h\not=0 \rightarrow rg(A)=rg([A|b])=3[/tex]
Perciò il sistema è compatibile [tex]\forall h \in R[/tex]
aspetta un attimo che significa rg(A|b) ? Non riesco a capire come hai fatto?
E' il rango della matrice completa. Devo scriverti i conti??
*Ely stai sbagliando !!!
Questo esercizio guarda caso me lo ritrovo uguale e identico anche io dove le possibili soluzioni sono:
A: $h!=0$
B: $h!=1$
C: $h!=0,h!=1$
D: Mai
La traccia chiede per quali valori di $h$ il sistema risulti compatibile, e la risposta esatta è la C.
S7EVIN non ti confondere, è così !
Questo esercizio guarda caso me lo ritrovo uguale e identico anche io dove le possibili soluzioni sono:
A: $h!=0$
B: $h!=1$
C: $h!=0,h!=1$
D: Mai
La traccia chiede per quali valori di $h$ il sistema risulti compatibile, e la risposta esatta è la C.
S7EVIN non ti confondere, è così !
Per h=0 il rg=2 sia di A che di [A|b] !!!
"*Ely":
Ciao!
La soluzione corretta del tuo esercizio è la "A" cioè [tex]\forall h \in R[/tex]
Infatti se [tex]h=0 \rightarrow rg(A)=rg([A|b])=2[/tex]; se invece [tex]h\not=0 \rightarrow rg(A)=rg([A|b])=3[/tex]
Perciò il sistema è compatibile [tex]\forall h \in R[/tex]
"S7EVIN":
$ { ( x + hy + z + ht = 0 ),( 2y + (h+1)z = h-1 ),( hx + ht = h ):} $
Però scegliendo $h=1$ si ha
$ { ( x + y + z + t = 0 ),( 2y + 2z = 0 ),( x + t = 1 ):} $
e si vede subito che è un sistema che non ha soluzioni. Infatti dalla seconda equazione si ricava che $y+z=0$, dalla terza $x+t=1$.
Sostituendo questi risultati nella prima equazione si ha che $x+(y+z)+t=0 => x+0+t=0 => x+t=0 => 1=0$
Se mi date un attimo ... controllo i conti ...
Infatti per $h=1$ il sistema è incompatibile.
Se $h=0$ il sistema è compatibile e ammette $oo^2$ soluzioni.
Per $h!=0,h!=1$ il sistema è compatibile e ammette $oo^1$ soluzioni.
Se $h=0$ il sistema è compatibile e ammette $oo^2$ soluzioni.
Per $h!=0,h!=1$ il sistema è compatibile e ammette $oo^1$ soluzioni.
"Padulo":
Questo esercizio guarda caso me lo ritrovo uguale e identico anche io dove le possibili soluzioni sono:
A: $h!=0$
B: $h!=1$
C: $h!=0,h!=1$
D: Mai
La traccia chiede per quali valori di $h$ il sistema risulti compatibile, e la risposta esatta è la C.
"Padulo":
Infatti per $h=1$ il sistema è incompatibile.
Se $h=0$ il sistema è compatibile e ammette $oo^2$ soluzioni.
Per $h!=0,h!=1$ il sistema è compatibile e ammette $oo^1$ soluzioni.
Allora la risposta esatta è la B , non la C
Allora io non vorrei che sbagliassi qualcosa, IO, nel risolvere questo tipo di esercizi a mio parere facili..
1) estraggo le 2 matrici completa e incompl
2)trovo per quali h la matrice incompl ha rango 3
3)trovo per quali h la matrice compl ha rango 3 (che poi sono gli stessi con l'aggiunta di h=\ da 1/2 )
4) unisco tutti i valori di h che ho trovato e questo è il risultato.... e a me escono h=\ -2, -1, 0, 1/2, 1
sbaglio qualcosa? non nei calcoli.. ma proprio nel procedimento?
1) estraggo le 2 matrici completa e incompl
2)trovo per quali h la matrice incompl ha rango 3
3)trovo per quali h la matrice compl ha rango 3 (che poi sono gli stessi con l'aggiunta di h=\ da 1/2 )
4) unisco tutti i valori di h che ho trovato e questo è il risultato.... e a me escono h=\ -2, -1, 0, 1/2, 1
sbaglio qualcosa? non nei calcoli.. ma proprio nel procedimento?
Scusate per la svista dell' h=1, ma avevo perso un segno ...
mi correggo e confermo:
[tex]rg(A)=2=rg([A|b]) \ \ h=0[/tex] compatibile [tex]\infty ^2 \ sol[/tex]
[tex]rg(A)=3=rg([A|b]) \ \ h\not=0,1[/tex] compatibile [tex]\infty ^1 \ sol[/tex]
[tex]rg (A)=2\not=rg([A|b])=3 \ \ \ h=1[/tex] non compatibile
Per quanto riguarda il tuo procedimento o i conti, sinceramente non capisco ...
studia il rg di A e poi vedi cosa accade all'ultimo minore (incompleta) per quei valori (h=0,1).
E' molto più semplice ...
mi correggo e confermo:
[tex]rg(A)=2=rg([A|b]) \ \ h=0[/tex] compatibile [tex]\infty ^2 \ sol[/tex]
[tex]rg(A)=3=rg([A|b]) \ \ h\not=0,1[/tex] compatibile [tex]\infty ^1 \ sol[/tex]
[tex]rg (A)=2\not=rg([A|b])=3 \ \ \ h=1[/tex] non compatibile
Per quanto riguarda il tuo procedimento o i conti, sinceramente non capisco ...
studia il rg di A e poi vedi cosa accade all'ultimo minore (incompleta) per quei valori (h=0,1).
E' molto più semplice ...
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