[RISOLTO] rette e sue applicazioni: Distanza
Salve ragazzi, ho bisogno di un aiuto per quanto riguarda lo svolgimento di 2 esercizi che riguardano il calcolo della distanza, ecco il testo:
1. Si trovino, se esistono, i punti della retta $r) 4x ¡ 3y = 2$ che distano $4$ dall'origine delle coordinate.
2. Si trovi la distanza di P da r nel seguente caso:
$ P-= (-3,1)$
$r){ ( x = 2t + 1 ),( y = -3t + 4 ):} $
nel punto due come si gestiscono le due equazioni? Grazie 1000 anticipatamente
1. Si trovino, se esistono, i punti della retta $r) 4x ¡ 3y = 2$ che distano $4$ dall'origine delle coordinate.
2. Si trovi la distanza di P da r nel seguente caso:
$ P-= (-3,1)$
$r){ ( x = 2t + 1 ),( y = -3t + 4 ):} $
nel punto due come si gestiscono le due equazioni? Grazie 1000 anticipatamente
Risposte
"giupar93":
nel punto due come si gestiscono le due equazioni? Grazie 1000 anticipatamente
essendo $t=frac{x-1}{2}$
si ha
$y=-3 cdot frac{x-1}{2}+4$
etc...
"giupar93":
2. Si trovi la distanza di P da r nel seguente caso:
$ P-= (-3,1)$
$r){ ( x = 2t + 1 ),( y = -3t + 4 ):} $
nel punto due come si gestiscono le due equazioni? Grazie 1000 anticipatamente
qui devi fare la distanza punto-retta
Ci sono vari modi per farlo, quello che avevano insegnato a me ad esercitazione era
prendi un punto $P$ e una retta $r$.
Se $P\in r \to d(P,r)=0$
Se $P$\(\cancel{\in}\) $ r\to EE ! \pi : P, L\in \pi $
in poche parole ti sta dicendo, che per calcolare la distanza punto-retta, trovi un piano normale alla retta, che però questo piano deve contenere il punto $P$, poi questo piano lo intersechi con la retta, e così hai trovato un altro punto, bene ti sei ricondotto a calcolare la distanza punto-punto.
Ti faccio qui l'esempio:
si vuole calcolare la distanza da $p=((2),(-1),(0))$ dalla retta $ r : ((x),(y),(z))=((-1),(-1),(0))+t((2),(1),(1)) $
allora un piano normale alla retta è di questo tipo $2x+y+z+d=0$
ora quest'ultimo piano trovato deve contenere il punto $p$,
per cui $2(2)+1(-1)+0+d=0\to d=-3$
ok quindi il piano che è normale alla retta e che contiene il punto P è $2x+y+z-3=0$
Ok ora intersechiamo, il piano con la tua retta e vediamo in qualche punto interseca la retta
$ { ( x=2t-1 ),( y=t-1 ),( z=t ),( 2x+y+z-3=0 ):}\to ... \to { ( x=1 ),( y=0 ),( z=1 ):}\to Q=((1),(0),(1)) $
ok la retta intereseca il piano nel punto Q.
Bene ora calcoliamo la distanza tra il punto P e Q.
$ d(P,r)=d(P,Q)=||((2),(-1),(0))-((1),(0),(1))||=||((1),(-1),(-1))||=\sqrt{3} $
Prova tu a farlo con la tua retta!
io vedo che P ha due coordinate
quindi per me è un problema di geometria analitica nel piano
anche perchè(come dice Razzi) io non vedo tracce della z in tutto il post
quindi per me è un problema di geometria analitica nel piano
anche perchè(come dice Razzi) io non vedo tracce della z in tutto il post
"raf85":
io vedo che P ha due coordinate
quindi per me è un problema di geometria analitica nel piano
anche perchè(come dice Razzi) io non vedo tracce della z in tutto il post
hai perfettamente ragione!.. bé almeno ha un esempio di una distanza punto retta nello spazio.
Nel piano, allora la distanza punto retta è semplicissimo,
sia $P=((x_0),(y_0))$ e sia $r: ax+by+c=0$
basta ricordarsi la formula $ d(P,r)=(|ax_0+by_0-c|)/(\sqrt{a^2+b^2}) $
per esempio, sia $P=((11),(3))$ e la retta $r= ((x),(y))=((2),(1))+t((4),(3))$
per poter utilizzare la formula bisogna riscrivere la retta in forma canonica del tipo $ax+by+c=0$
svolgendo i conti si ha $3x-4y-2=0$
dunque applicando la formula si ha $ d(P,r)=(|3(11)+(-4)3-2|)/(\sqrt{3^2+(-4)^2})=19/5 $
prova a farlo con la tua retta
"raf85":
[quote="giupar93"]nel punto due come si gestiscono le due equazioni? Grazie 1000 anticipatamente
essendo $t=frac{x-1}{2}$
si ha
$y=-3 cdot frac{x-1}{2}+4$
etc...[/quote]
@raf85
ok, ma dopo che risolvo il sistema, avrò una y e una t, con sempre due equazioni per individuare la retta, con quali delle due equazioni devo calcolare la distanza ?
"21zuclo":
svolgendo i conti si ha $3x-4y-2=0$
potresti per favore farmi capire come sei arrivata all'equazione?
"giupar93":
@raf85
ok, ma dopo che risolvo il sistema, avrò una y e una t, con sempre due equazioni per individuare la retta, con quali delle due equazioni devo calcolare la distanza ?
no ,perchè l'equazione con la t non la consideri più
hai solo $ 2y=-3x+3+8$
cioè
$3x+2y-11=0$
mmmh..ok..ora ci sono. Ma puoi spiegarmi il perché ? cioè perché l'equazione della retta t non la conterò più?
l'equazione della retta che hai postato(cioè il sistema) viene detta equazione parametrica della retta(il parametro è t)
il nostro compito è proprio quello di "eliminare" il parametro in modo da trovare la relazione tra la x e la y,cioè l'equazione della retta a noi più familiare
il nostro compito è proprio quello di "eliminare" il parametro in modo da trovare la relazione tra la x e la y,cioè l'equazione della retta a noi più familiare
Tanto per dare una soluzione da terzo liceo al problema 1...
Per determinare \(P\) basta fare trovare l'intersezione di \(r\) con la circonferenza \(\Gamma\) di centro \(O\) e raggio \(4\), i.e. risolvere il sistema:
\[
\begin{cases}
4x+3y=2\\
x^2 + y^2=16\; .
\end{cases}
\]
Per determinare \(P\) basta fare trovare l'intersezione di \(r\) con la circonferenza \(\Gamma\) di centro \(O\) e raggio \(4\), i.e. risolvere il sistema:
\[
\begin{cases}
4x+3y=2\\
x^2 + y^2=16\; .
\end{cases}
\]
ok grazie a tutti adesso ho capito 
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