[RISOLTO] Prodotto scalare e forma quadratica associata

[paolo19951]

Salve a tutti!
Non so come svolgere questo esercizio
Data la matrice A: prima riga (-1,4,-8)...seconda riga (4,-7,-4).....terza riga (-8,-4,-1) Determinare
-il prodotto scalare associato
-scrivere la forma quadratica associata
-dire se è non degenere, definito positivo
- trovare una base ortonormale (rispetto al prodotto scalare euclideo in R^n) rispetto alla quale il prodotto abbia matrice assoviata diagonale
-trovare una matrice diagonale D tale che D=Pt A P per un opportuna matrice P

1) prodotto scalare associato = -1y1x1+4y1x2-8y1x3+4y2x1-7y2x2-4y2x3-8y3x1-4y3x2-1y3x3

2) forma quadratica associata: guardando su internet ho trovato una formula F(x)= xt A x con xt (x1, x2, x3)
Xt A=(-x1+4x2-8x3 , 4x1-7x2-4x3 , -8x1-4x2-1x3)
Xt A X =(-x1^2+4x1x2-8x1x3 , 4x1x2-7x2^2-4x2x3 , -8x1x3-4x2x3-1x3^2)

3) questo non lo so fare!

4) neanche questo so fare!

5) trovare la matrice diagonale

questo meglio lasciare perdere che per calcolare gli autovettori mi è venuto fuori:

t^3+9t^2-81t-729=0
E da lì non riesco a scomporli

[paolo19951]

Per il punto 5 guardando su internet ho trovato la regola di ruffini che mi fa scomporre quel polinomio

(t-9)(t^2+18t+81)

Autovalori: t=9 v t=-9
Molteplicita algebrica t=9---> 1= molteplicita geometrica
Molteplicita algebrica t=-9---> 1=molteplicita geometrica

E' diagonalizzabile.

t=9 (1,7,1)
t=-9 (1,-11,11)

Quindi P= 1colonna (1,7,1), seconda colonna (1,-11,11), terza colonna (0,0,1)