[Risolto] - Problema sul prodotto vettoriale

[no10lode]

Salve a tutti, sono nuovo del furum e spero di postare bene l'argometo, dal testo:
Dati tre pinti A, B, C, verifivare che AB$ ^^ $AC = BA$ ^^ $BC = CA$ ^^ $CB.

Ho dei dubbi sul mio procedimento per la risoluzione del problema.
Dopo aver assegnando un una base {i,j} e delle coordinate arbitraria ai punti A(1,2); B(3,4); C(5,6); ho calcolato i vettori
AB = 2i+2j
AC = 4i+4j
AB$ ^^ $AC = (2i$ \cdot $4j) + (4j$ \cdot $2i) = 8k-8k = 0

CB = -2i-2j
CA = -AC = -4i-4j
CA$ ^^ $CB = (-4i$ \cdot $(-2)j) + (-4j$ \cdot $(-2)i) = 8k-8k = 0

BC = -CB = 2i+2j
BA = -AB = -2i-2j
BC$ ^^ $BA = (2i$ \cdot $(-2)j) + (-2j$ \cdot $(-2)i) = -4k+4k = 0

[apatriarca]

Non puoi dimostrare un teorema scegliendo un caso particolare e dimostrando che per quel particolare caso la tesi è valida. Oltretutto hai scelto dei punti che appartengono alla stessa retta! La tesi è oltretutto sbagliata in quanto il secondo termine dovrebbe essere \( BC \wedge BA. \) Suppongo sia solo un errore tipografico e continuo supponendo fosse quello corretto.

Un modo per dimostrare il teorema potrebbe essere quello di osservare che \(AB \wedge AC\) (e lo stesso per gli altri) è un vettore perpendicolare al piano contenente i tre punti e di modulo uguale al doppio dell'area del triangolo. Non ho tuttavia idea di quali siano le tue conoscenze sul prodotto vettoriale e se conosci queste cose.

Un'altro modo potrebbe essere quello di usare le proprietà del prodotto vettoriale come segue:
\[
\begin{align*}
(B - A) \wedge (C - A) &= B \wedge C - B \wedge A - A \wedge C + A \wedge A \\
&= (C - B) \wedge A + B \wedge C - B \wedge B \\
&= (C - B) \wedge A + B \wedge (C - B) \\
&= (C - B) \wedge A - (C - B) \wedge B \\
&= (C - B) \wedge (A - B)
\end{align*}
\]
Ti lascio gli altri casi.

[no10lode]

Ciao apatriarca, grazie per avermi dedicato il tuo tempo, la mia conoscenza nei riguardi della materia è ancora scarna, da soli venti giorni che ho iniziato a studiare l'esame di geometria ed algebra lineare, faccio fatica a capire interamente le due soluzioni che mi hai proposto; nel primo caso mi è chiaro che il modulo del vettore prodotto è il doppio l'area del triangolo di vertici ABC perchè risulta essere la metà dell'area del parallelogramma di lati AB e AC, ma non saprei come svolgerlo; nel secondo caso (quello che più mi ha incuriosito) non mi sono chiari i passaggi pur avendo sottomano le proprietà: anticommutativa, distributiva.
Quando puoi approfondiresti le tue spiegazioni.

[apatriarca]

Per prima cosa ho espresso \(AB\) e \(AC\) come i due vettori \( B - A \) e \( C - A \). Spero che questo passaggio sia chiaro. Ho quindi osservato che il prodotto vettoriale è bilineare e usato questa proprietà per scriverla come somma di prodotti nei soli \(A\), \(B\) e \(C\). Nel successivo passaggio ho usato diverse proprietà. Prima di tutto \(A \wedge A\) e \(B \wedge B\) sono nulli per cui posso aggiungerli o toglierli senza alcun problema. Ho poi usato la proprietà anticommutativa per sostituire \( - A \wedge C \) con \( C \wedge A \) e raccogliere quindi i due termini con \( A \) sulla destra. Ho quindi raccolto tutti i termini con \( B \) sulla sinistra e usato di nuovo la proprietà anticommutativa nei successivi due passaggi. Alla fine ho raccolto i due termini con \( (C - B) \) sulla sinistra.

[no10lode]

Ciao apatriarca adesso è tutto molto chiaro, grazie mille per le spiegazioni ed i chiarimenti ho sviluppato gli altri casi e mi trovo.