{RISOLTO} Problema di Cauchy.

[Escher1]

Vi spiego il problema:
Il polinomio caratteristico è: \(\displaystyle -t^2(t-1) \)
Quindi due autovalori, calcolo la molteplicità algebrica e geometria sia dell'autovalore \(\displaystyle 0 \) che dell'autovalore \(\displaystyle 1 \). Trovo il nucleo di entrambi gli autovalori cioè:
Per l'autovalore \(\displaystyle 0 \) ho due basi: \(\displaystyle (-y-z/2,y,z) => (1/2,1,0) => (1,2,0) e (-1/2,0,1) =>(-1,0,2) \).
Per l'autovalore \(\displaystyle 1 \) ho un base: \(\displaystyle (2,4,1) \)
Quindi trovo che la base è: \(\displaystyle B = (1,2,0),(-1,0,2) \)

Ps: Il prof dice che una base é \(\displaystyle B = (1,2,0),(1,0,-2) \)

Poi scrive: L'operatore di restrizione φ:u ∈ V0 -> A * u ∈ V0 ammette come matrice rappresentativa rispetto alla base B:

$((0,-2),(0,0))$

Come la trova questa matrice?

Grazie delle risposte !

[apatriarca]

Aggiungeresti un po' più di contesto? Non ho capito cosa tu stia cercando di calcolare.. Qual'è il testo dell'esercizio?

[Escher1]

Certo scusami ti scrivo tutto:

Ho il sistema iniziale:
\(\displaystyle X_{1} = 2x_{1} - x_{2} + 2x_{3} \)
\(\displaystyle X_{2} = 4x_{1} - 2x_{2} + 4x_{3} \)
\(\displaystyle X_{3} = 2x_{1} - x_{2} + x_{3} \)

Poi ho un altro sistema che servirà alla fine:
\(\displaystyle X_{1}(0) = 1 \)
\(\displaystyle X_{2}(0) = 0\)
\(\displaystyle X_{3}(0) = 0 \)

La matrice dei coefficienti del primo sistema è:

$A = ((2,-1,2),(4,-2,4),(2,-1,1))$


Quindi trovo il polinomio caratteristico della matrice A:
\(\displaystyle -t^3 - t^2 = 0 \)
$=>$ \(\displaystyle -t^2(t-1) \)

In seguito devo trovare la molteplicità algebrica e geometrica per i due autovalori \(\displaystyle \lambda = 0 \) e \(\displaystyle \lambda = 1 \).

Per: \(\displaystyle -t^2 \) $=>$ \(\displaystyle \lambda = 0 \)
\(\displaystyle ma(0) = 2 \)
\(\displaystyle mg = 1 \)

Per: \(\displaystyle (t-1) \) $=>$ \(\displaystyle \lambda = 1 \)
\(\displaystyle ma(1) = 1 \)
\(\displaystyle mg = 1 \)

Trovo il kernel della matrice \(\displaystyle A - \lambda \), applicando la formula:
\(\displaystyle V_{\lambda} = ker(A-\lambda I)^{ma(\lambda)} \)

Con \(\displaystyle \lambda = 0 \):
\(\displaystyle V_{0} = ker(A)^2 \)
$=>$ Trovo i vettori del kernel che sono: \(\displaystyle (1,2,0),-1,0,2) \)

Applico la stessa formula per \(\displaystyle \lambda = 1 \) e trovo un solo vettore:
\(\displaystyle (2,4,1) \).

A questo punto dovrei costruire la matrice P , perchè per risolvere il problema di Cauchy si applica la formula:
\(\displaystyle Y = P * e^{\lambda t} * P^{-1} * C \)

C = è la matrice del secondo sistema scritto all'inizio $=>$ $((1),(0),(0))$

Il professore scrive:
Quindi una rappresentazione cartesiana dell’autospazio generalizzato \(\displaystyle V_{0} \) e’ data dall’equazione:
\(\displaystyle 2x - y + z = 0 \). Trova la base: \(\displaystyle B = { (1,2,0), (1,0,-2)} \) che sarebbero i vettori trovati facendo il kernel per l'autovalore zero.

Solo che a me il secondo vettore viene diverso: Per me la base è: \(\displaystyle B = (1,2,0),(-1,0,2) \)
A questo punto scrive:
\(\displaystyle \varphi : u V_{0} => A u V_{0} \) ammette come matrice rappresentativa rispetto alla base B la matrice:

\(\displaystyle M^{B}_{B} = \) $((0,-2),(0,0))$

E non riesco a capire come la costruisce.
Ho scaricato un pdf che dice come risolvere il problema di Cauchy a due autovalori ma non riesco proprio a capire, la guida è scaricabile da: http://www.axifile.com/en/0A46DFC52F.
Non riesco a costruire la matrice:

\(\displaystyle M^{B}_{B} (f- \lambda I) = \) $((0,-1),(0,0))$

Grazie delle eventuali risposte !