[Risolto]-Problema con l'ortogonalità dei vettori
L'ho risolto ma non mi trovo con il risultato, verificate anche vuoi se il procedimento è corretto?
Siano $V=(-1,2)$ ed $A(1,1)$; determinare il punto $B$ in modo che il vettore $AB$ abbia modulo $ sqrt(5) $ e sia ortogonale ad $V$. Quante soluzioni ammette il problema ? [Soluzioni: (2,1) e (-2,-1)]
$ABx=Bx-Ax=X-1$
$ABy=By-Ay=Y-1$
$V \cdot AB = Vx \cdot ABx+Vy \cdot ABy = 0 hArr -1\cdot(X-1)+2\cdot(Y-1) = 0 hArr X = 2Y -1$
il punto $B$ avrà coordinate:
$ B( 2Y-1, Y)$
$AB ^^ 2 = 5$
$(Bx-Ax)^^2+(By-Ay)^^2 = 5 hArr (2Y-2)^^2 + (Y-1)^^2 = 5 hArr 5Y^^2-10Y=0 hArr Y^^2 - 2Y = 0 $
$ { ( Y=0 ) ,( Y-2=0 ):} $ $ { ( Y=0 rArr X=2Y-1= -1),( Y=2 rArr X= 2Y-1= 3 ):} $
1° soluzione $B(-1,0)$
2° soluzione $B(3,2)$
Come vedete le mie soluzioni sono diverse da quelle date dal testo, per scrupolo ho calcolato il modulo di AB con le coordinate di B da me trovate e quelle del testo, con le prime mi trovo le seconde no! avete suggerimenti?
Siano $V=(-1,2)$ ed $A(1,1)$; determinare il punto $B$ in modo che il vettore $AB$ abbia modulo $ sqrt(5) $ e sia ortogonale ad $V$. Quante soluzioni ammette il problema ? [Soluzioni: (2,1) e (-2,-1)]
$ABx=Bx-Ax=X-1$
$ABy=By-Ay=Y-1$
$V \cdot AB = Vx \cdot ABx+Vy \cdot ABy = 0 hArr -1\cdot(X-1)+2\cdot(Y-1) = 0 hArr X = 2Y -1$
il punto $B$ avrà coordinate:
$ B( 2Y-1, Y)$
$AB ^^ 2 = 5$
$(Bx-Ax)^^2+(By-Ay)^^2 = 5 hArr (2Y-2)^^2 + (Y-1)^^2 = 5 hArr 5Y^^2-10Y=0 hArr Y^^2 - 2Y = 0 $
$ { ( Y=0 ) ,( Y-2=0 ):} $ $ { ( Y=0 rArr X=2Y-1= -1),( Y=2 rArr X= 2Y-1= 3 ):} $
1° soluzione $B(-1,0)$
2° soluzione $B(3,2)$
Come vedete le mie soluzioni sono diverse da quelle date dal testo, per scrupolo ho calcolato il modulo di AB con le coordinate di B da me trovate e quelle del testo, con le prime mi trovo le seconde no! avete suggerimenti?
Risposte
Allora non ho capito bene quale sia il vettore $B$, in ogni caso svolgo l'esercizio cercando un vettore che sia ortogonale a $V$ e di molo $sqrt(5)$.
e il modulo di tali vettori ortogonali è già $sqrt(5)$.
Come puoi vedere le tue soluzioni non sono ortogonali a $V$ e non hanno nemmeno il modulo richiesto.
Se $V=((-1),(2)) rArr {V}^_|_ $[nota]Ottenuti risolvendo $<(-1,2)((x),(y))> =0 hArr x-2y=0$[/nota]$={((2),(1)),((-2),(-1))}=mathcal (L)((2),(1))$
e il modulo di tali vettori ortogonali è già $sqrt(5)$.
"no10lode":
1° soluzione $ B(-1,0) $
2° soluzione $ B(3,2) $
Come puoi vedere le tue soluzioni non sono ortogonali a $V$ e non hanno nemmeno il modulo richiesto.
Ciao Magma, grazie per avermi dedicato il tuo tempo, mi spiace non aver scritto in modo chiaro, adesso l'ho corretto e spero che sia più chiaro lo svolgimento del problema; leggendo il tuo svolgimento, mi sono reso conto di
i) aver frainteso la soluzione richesta dal testo, che voleva le coorditate del vettore e non quelle punto $B$; infatti proseguendo mi trovo.
1°) $V\cdotAB=0 hArr Vx \cdotABx + Vy \cdot ABy = 0 hArr -1 \cdot (-1-1) + 2\cdot (0-1)=0 rArr AB=(-2,-1)$
2°) $V\cdotAB=0 hArr Vx \cdotABx + Vy \cdot ABy = 0 hArr -1 \cdot (3-1) + 2\cdot (2-1)=0 rArr AB=(2,1)$
ii) la tua soluzione è sicuramente più pratica della mia.
Grazie mille
i) aver frainteso la soluzione richesta dal testo, che voleva le coorditate del vettore e non quelle punto $B$; infatti proseguendo mi trovo.
1°) $V\cdotAB=0 hArr Vx \cdotABx + Vy \cdot ABy = 0 hArr -1 \cdot (-1-1) + 2\cdot (0-1)=0 rArr AB=(-2,-1)$
2°) $V\cdotAB=0 hArr Vx \cdotABx + Vy \cdot ABy = 0 hArr -1 \cdot (3-1) + 2\cdot (2-1)=0 rArr AB=(2,1)$
ii) la tua soluzione è sicuramente più pratica della mia.
Grazie mille
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