[RISOLTO] Due matrici simili rappresentano lo stesso endomorfismo
Mi tocca dimostrare che
Un'idea, suggerita dai miei appunti, c'e'; ma mi pare un po' traballante. In sostanza, so per ipotesi che esiste una matrice \( B \) quadrata di ordine \( n \) invertibile tale che
\[ A' = B^{-1} \cdot A \cdot B \]
(per definizione di similitudine). Se definisco \( A \) come la matrice rappresentativa --rispetto alla base canonica-- dell'endomorfismo di \( \mathbb{K}^n \)
\[ L_A : \mathbf{x} \mapsto A \cdot \mathbf{x} \]
riesco a scrivere
\[ A' = B^{-1} \cdot \mathcal{M}_{\mathcal{C}}^{\mathcal{C}} \cdot B \]
La dimostrazione poi prosegue pensando a \( B \) come la matrice di cambiamento di base da \( \mathcal{B} \) a \( \mathcal{C} \); il che piacerebbe anche a me, perche' concluderebbe davvero la dimostrazione.
Peccato non mi senta legittimato a scegliere \( B \): la definizione di similitudine fra matrici asserisce che `esiste un \( B \) ... ', non che per ogni \( B \) che scelgo vale la relazione
\[ A' = B^{-1} \cdot A \cdot B \]
Mi sto sbagliando?
Teorema: sia \( A \in \mathcal{M}_{n \times n}(\mathbb{K}) \) e \( A' \in \mathcal{M}_{n \times n}( \mathbb{K} ) \) tale che \( A \sim A' \). Allora \( A \) e \( A' \) rappresentano lo stesso endomorfismo di \( \mathbb{K}^n \) --semplicemente, rispetto a due basi diverse.
Un'idea, suggerita dai miei appunti, c'e'; ma mi pare un po' traballante. In sostanza, so per ipotesi che esiste una matrice \( B \) quadrata di ordine \( n \) invertibile tale che
\[ A' = B^{-1} \cdot A \cdot B \]
(per definizione di similitudine). Se definisco \( A \) come la matrice rappresentativa --rispetto alla base canonica-- dell'endomorfismo di \( \mathbb{K}^n \)
\[ L_A : \mathbf{x} \mapsto A \cdot \mathbf{x} \]
riesco a scrivere
\[ A' = B^{-1} \cdot \mathcal{M}_{\mathcal{C}}^{\mathcal{C}} \cdot B \]
La dimostrazione poi prosegue pensando a \( B \) come la matrice di cambiamento di base da \( \mathcal{B} \) a \( \mathcal{C} \); il che piacerebbe anche a me, perche' concluderebbe davvero la dimostrazione.
Peccato non mi senta legittimato a scegliere \( B \): la definizione di similitudine fra matrici asserisce che `esiste un \( B \) ... ', non che per ogni \( B \) che scelgo vale la relazione
\[ A' = B^{-1} \cdot A \cdot B \]
Mi sto sbagliando?
Risposte
Secondo me vai bene..
Tu non scegli $B$ come la matrice di cambiamento di base.. Ti limiti ad osservare che se lo è, allora va tutto bene. Come l'ha enunciato la mia professoressa, questo teorema dice che "le due matrici possono essere pensate come associate allo stesso endomorfismo con basi diverse"..
Tu, come hai detto, sai che una certa $B$ esiste. E se pensi che $B$ sia la matrice di passaggio, noti che va bene, quindi puoi prendere proprio la matrice di passaggio!
Tu non scegli $B$ come la matrice di cambiamento di base.. Ti limiti ad osservare che se lo è, allora va tutto bene. Come l'ha enunciato la mia professoressa, questo teorema dice che "le due matrici possono essere pensate come associate allo stesso endomorfismo con basi diverse"..
Tu, come hai detto, sai che una certa $B$ esiste. E se pensi che $B$ sia la matrice di passaggio, noti che va bene, quindi puoi prendere proprio la matrice di passaggio!
EDIT: provo ad esplicitare meglio la mia perplessita. Io ho due matrici simili \( A \) e \( A' \), cioe'
\[ \exists B \; \text{invertibile} \; : \; A' = B^{-1} \cdot A \cdot B \]
Voglio verificare che \( A' \) e \( A \) sono associate allo stesso endomorfismo di \( \mathbb{K}^n \).
\( A \) e' la matrice associata a \( L_A \) con base canonica di \( \mathbb{K}^n \) fissata; se scelgo \( B \) l'opportuna matrice di cambio di base, ok: dimostro che tutte le matrici associate allo stesso endomorfismo sono simili.
Ma \( B \) potrebbe benissimo essere una qualche altra matrice invertibile --tale che \( A' = B^{-1} \cdot A \cdot B \).
Quindi perche' tutti mi dicono che prendendo \( B \) come matrice di cambio di base ho dimostrato il teorema? `Ho dimostrato' una cippa!
Ringrazio, intanto
A meno che io non possa vedere ogni matrice invertibile come una adeguata matrice di cambio di base ...ma non vedo come potrei
EDIT: ok, a questo punto --dopo aver cercato su un paio di testi della biblioteca-- comincio a perdere le speranze di capire mai questo fatto. Però un dubbio mi ha assalito: sono sicuro di aver inteso il risultato in modo corretto? Cioè, è vero che ogni coppia di matrici simili può rappresentare un unico endomorfismo?..
EDIT: ok, a questo punto --dopo aver cercato su un paio di testi della biblioteca-- comincio a perdere le speranze di capire mai questo fatto. Però un dubbio mi ha assalito: sono sicuro di aver inteso il risultato in modo corretto? Cioè, è vero che ogni coppia di matrici simili può rappresentare un unico endomorfismo?..
"giuscri":
dimostro che tutte le matrici associate allo stesso endomorfismo sono simili.
Non volevi dimostra che due matrici simili sono associate allo stesso endomorfismo?
EDIT conclusivo: comunque ho vinto --sebbene abbia sudato e voluto piangere parecchie volte ...
A meno che io non possa vedere ogni matrice invertibile come una adeguata matrice di cambio di base ...ma non vedo come potrei
Sia \( D \) una matrice quadrata di ordine \( n \) invertibile. Una caratterizzazione delle matrici invertibili e' quella di avere rango massimo --nel nostro caso \( n \); in altre parole le \( n \) colonne di \( D \) sono linearmente indipendenti. Questo significa che posso costruire una base \( \mathcal{B} \) di \( \mathbb{K}^n \) prendendo le \( n \) colonne di \( C \). Quindi
\[ D \equiv \mathcal{ M }_{ \mathcal{B} }^{ \mathcal{ E } } ( \operatorname{id}_V ) \qquad \text{con} \; \mathcal{B} = \{ C^1, \ldots, C^n \}, \; \mathcal{ E } = \{ \mathbf{e}_1, \ldots, \mathbf{e}_n \} \]
Cioe': ogni matrice invertibile ha una sua anima di matrice di cambiamento di base (a patto di scegliere le giuste basi).
Ora, il teorema mi chiede di dimostrare la seguente visione: prendi una coppia di matrici simili qualsiasi \( A, A' \); allora rappresentano lo stesso endomorfismo di \( \mathbb{K}^n \). Sia \( D \) la matrice che permette di scrivere
\[ A \sim A' \]
Ora, se \( A = \mathcal{ M }_{ \mathcal{ E } }^{ \mathcal{ E } } (L_A) \) e vale
\[ A' = D^{-1} \cdot A \cdot D \equiv D^{-1} \cdot \mathcal{ M }_{ \mathcal{ E } }^{ \mathcal{ E } } (L_A) \cdot D \]
se costruisco la base \( \mathcal{B} \subset \mathbb{K}^n \) prendendo gli \( n \) vettori di \( \mathcal{B} \) dalle colonne di \( D \) --vd sopra-- allora, come prima,
\[ D \equiv \mathcal{M}_{ \mathcal{B} }^{ \mathcal{ E } } ( \operatorname{id}_V ) \]
Quindi
\[ A' = D^{-1} \cdot A \cdot D \equiv D^{-1} \cdot \mathcal{ M }_{ \mathcal{ E } }^{ \mathcal{ E } } (L_A) \cdot D \equiv \mathcal{M}_{ \mathcal{ E } }^{ \mathcal{ B } } ( \operatorname{id}_V ) \cdot \mathcal{ M }_{ \mathcal{ E } }^{ \mathcal{ E } } (L_A) \cdot \mathcal{M}_{ \mathcal{B} }^{ \mathcal{ E } } ( \operatorname{id}_V ) \equiv \mathcal{ M }_{ \mathcal{ B } }^{ \mathcal{B} } ( L_A ) \]
Cioe'
Sia \( \mathcal{E} \) la base canonica di \( \mathbb{K}^n \) e sia \( L_A : \; \mathbb{K}^n \ni \mathbf{x} \mapsto A \cdot \mathbf{x} \). Dunque
\[ A' \sim A, \; A := \mathcal{M}_{ \mathcal{E} }^{ \mathcal{E} } ( L_A ) \Rightarrow A' = \mathcal{M}_{ \mathcal{B} }^{ \mathcal{ B } } ( L_A ) \]
con \( \mathcal{B} \) una base di \( \mathbb{K}^n \) --non necessariamente quella canonica.
Che dite?
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