[RISOLTO] Autovalori e Autovettori
Ciao Ragazzi!
Mi serve aiuto per questo esercizio:
Sia $u \in \RR^3$ un vettore non nullo. Calcolare il polinomio caratteristico dell'operatore lineare di $\RR^3$ $A$, definito come segue $Ax = u$ x $x$ e stabilire se la sua disparità era prevedibile a priori. Quindi, determinare autovalori e autovettori di $A$ e discuterne la diagonalizzabilità.
Allora, io ragiono così: $Ax$ restituisce un vettore ortogonale ai vettori $x$ e $u$. Di conseguenza, eccetto il vettore nullo, nessun vettore potrà essere autovettore e l'unico autovalore è $0$.
Chiamate $u_1, u_2, u_3$ le 3 componenti di $u$ lungo gli assi $x$, $y$ e $z$, la matrice rappresentativa della trasformazione lineare è la seguente:
[tex]\left[\begin{array}{cc}0 & -u_3 & u_2 \\ u_3 & 0 & -u_1 \\ -u_2 & u_1 & 0\end{array}\right][/tex]
Risulta chiaro che $A = -A^T$ ma non credo basti a definire la disparità del polinomio caratteristico.
Cosa dite? Ha senso quello che ho scritto?
Grazie!
Mi serve aiuto per questo esercizio:
Sia $u \in \RR^3$ un vettore non nullo. Calcolare il polinomio caratteristico dell'operatore lineare di $\RR^3$ $A$, definito come segue $Ax = u$ x $x$ e stabilire se la sua disparità era prevedibile a priori. Quindi, determinare autovalori e autovettori di $A$ e discuterne la diagonalizzabilità.
Allora, io ragiono così: $Ax$ restituisce un vettore ortogonale ai vettori $x$ e $u$. Di conseguenza, eccetto il vettore nullo, nessun vettore potrà essere autovettore e l'unico autovalore è $0$.
Chiamate $u_1, u_2, u_3$ le 3 componenti di $u$ lungo gli assi $x$, $y$ e $z$, la matrice rappresentativa della trasformazione lineare è la seguente:
[tex]\left[\begin{array}{cc}0 & -u_3 & u_2 \\ u_3 & 0 & -u_1 \\ -u_2 & u_1 & 0\end{array}\right][/tex]
Risulta chiaro che $A = -A^T$ ma non credo basti a definire la disparità del polinomio caratteristico.
Cosa dite? Ha senso quello che ho scritto?
Grazie!
Risposte
Quello che hai scritto ha perfettamente senso. Tuttavia c'è un'affermazione sbagliata. Infatti una matrice di ordine dispari ha almeno un autovalore reale e quindi almeno un autovettore non nullo. In particolare, una matrice antisimmetrica di ordine dispari è sempre singolare, e quindi ha sempre almeno un vettore non nullo $v$ tale che $Av = 0$, che quindi sarà autovettore con autovalore zero. Sapresti indviduare questo vettore senza fare i conti?
Per quanto riguarda la disparità, possiamo ragionare così:
Ogni matrice $B$ ha gli stessi autovalori di $B^T$ e quindi lo stesso polinomio caratteristico. In questo caso deduciamo che $A$ ha gli stessi autovalori di $-A$. Tuttavia gli autovalori di $A$ sono opposti degli autovalori di $A$. Questo ci dice che, se $a$ è un autovalore di $A$ con una certa molteplicità allora anche $-a$ è un autovalore di $A$ con la stessa molteplicità. Perciò otteniamo di nuovo che un autovalore di $A$ è nullo mentre gli altri due sono opposti (forse non reali, ma certamente non nulli, altrimenti $A$ sarebbe identicamente nulla). Da questo dovrebbe essere chiaro che il polinomio caratteristico è dispari.
Per finire, considerando che $A$ può avere un solo autovettore (perché se un vettore non è parallelo a quell'autovettore allora succede quello che hai detto, ovvero la sua immagine è ortogonale), si può dedurre che non ci sono altri autovalori reali. Per la disparità, gli altri due autovalori dovranno essere opposti, e siccome sono complessi dovranno pure essere coniugati. Si deduce che gli altri due autovalori sono complessi puramente immaginari (e se fai i conti dovrebbe venir fuori che dipendono solo dal modulo di $u$).
Per quanto riguarda la disparità, possiamo ragionare così:
Ogni matrice $B$ ha gli stessi autovalori di $B^T$ e quindi lo stesso polinomio caratteristico. In questo caso deduciamo che $A$ ha gli stessi autovalori di $-A$. Tuttavia gli autovalori di $A$ sono opposti degli autovalori di $A$. Questo ci dice che, se $a$ è un autovalore di $A$ con una certa molteplicità allora anche $-a$ è un autovalore di $A$ con la stessa molteplicità. Perciò otteniamo di nuovo che un autovalore di $A$ è nullo mentre gli altri due sono opposti (forse non reali, ma certamente non nulli, altrimenti $A$ sarebbe identicamente nulla). Da questo dovrebbe essere chiaro che il polinomio caratteristico è dispari.
Per finire, considerando che $A$ può avere un solo autovettore (perché se un vettore non è parallelo a quell'autovettore allora succede quello che hai detto, ovvero la sua immagine è ortogonale), si può dedurre che non ci sono altri autovalori reali. Per la disparità, gli altri due autovalori dovranno essere opposti, e siccome sono complessi dovranno pure essere coniugati. Si deduce che gli altri due autovalori sono complessi puramente immaginari (e se fai i conti dovrebbe venir fuori che dipendono solo dal modulo di $u$).
Grazie mille, sei stato chiarissimo.
L'autovettore relativo all'autovalore $0$ è $u$ stesso, giusto?
Grazie anche per tutto il resto della spiegazione, assolutamente esauriente e chiara!
L'autovettore relativo all'autovalore $0$ è $u$ stesso, giusto?
Grazie anche per tutto il resto della spiegazione, assolutamente esauriente e chiara!
Esatto.
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