[Risolto] A*A_trasposta è semidefinita positiva?

[Vixent]

Salve a tutti! Ho un problema..
Prendiamo una matrice A generica, e la moltiplichiamo per la sua trasposta, o anche il contrario (cioè la trasposta di A moltiplicata per A). Vorrei dimostrare che questo prodotto è una matrice semidefinita positiva.
A non è richiesto che sia una matrice quadrata. Può essere anche rettangolare. Infatti poi il prodotto è una matrice quadrata.

Non riesco a dimostrarlo, però mi risulta che deve essere così... Mettendo inoltre valori a caso ai coefficienti di A con un programma, mi esce che A*A_trasposta ha sempre autovalori positivi.

[Pappappero1]

Una matrice quadrata $M$ e' semidefinita positiva se, per ogni vettore $v$ (con le dimensioni che funzionano per poter fare i prodotti), si ha $v^T M v \ge 0$.

Prova a farlo quando $M = A^T A$ e usando le proprieta' del prodotto e della trasposta vedrai che viene fuori che quel valore e' la norma di un qualche vettore, quindi sempre maggiore o uguale di $0$.

[Vixent]

"Pappappero":Una matrice quadrata $M$ e' semidefinita positiva se, per ogni vettore $v$ (con le dimensioni che funzionano per poter fare i prodotti), si ha $v^T M v \ge 0$.

Prova a farlo quando $M = A^T A$ e usando le proprieta' del prodotto e della trasposta vedrai che viene fuori che quel valore e' la norma di un qualche vettore, quindi sempre maggiore o uguale di $0$.

Ottimo. Come spesso capita non era difficile ma non ci si arriva Grazie mille!!