Risistemando delle idee sulla topologia prodotto...
Ciao 
La definizione di spazio prodotto topologico che è stata data a lezione è:
(Defizinione | I forma) dati due spazi topologici \(X\) e \(Y\), la lo spazio prodotto è il prodotto cartesiano \(X \times Y\) con la topologia meno fine tra quelle su \(A \times B\) per cui sono continue le funzioni, proiezioni,
così definite: \(p_X(x, \_) = x\) e \(p_Y(\_, y) = y\). Chiamo \(\tau_{X \times Y}\) la topologia prodotto. In pratica sto cercando di capire come è fatta la topologia prodotto in un altro modo rispetto a quanto detto a lezione, e vedere se le idee che mi sono fatto hanno senso. Con «come è fatta» intendo dire: vedere altre definizioni equivalenti.
(Osservazione 1) \(p_X\) e \(p_Y\) sono funzioni aperte. Infatti, se ci fosse un aperto \(U\) di \(X \times Y\) per cui \(p_X U\) non è aperto, pure la topologia \(\tau_{X \times Y} - \{p_X U\}\) su \(X \times Y\) rende continua \(p_X\). Ma quest'ultima topologia è strettamente meno fine di \(\tau_{X \times Y}\), il che non può essere. Lo stesso ragionamento si può fare per dire che l'altra proiezione è aperta.
(Osservazione 2) Un'altra cosa che posso dire è che per la continuità delle due proiezioni ho che:
La definizione di spazio prodotto topologico che è stata data a lezione è:
(Defizinione | I forma) dati due spazi topologici \(X\) e \(Y\), la lo spazio prodotto è il prodotto cartesiano \(X \times Y\) con la topologia meno fine tra quelle su \(A \times B\) per cui sono continue le funzioni, proiezioni,
[tex]\xymatrix{
& X \times Y \ar[dl]_{p_X} \ar[dr]^{p_Y} & \\
X & & Y
}[/tex]
& X \times Y \ar[dl]_{p_X} \ar[dr]^{p_Y} & \\
X & & Y
}[/tex]
così definite: \(p_X(x, \_) = x\) e \(p_Y(\_, y) = y\). Chiamo \(\tau_{X \times Y}\) la topologia prodotto. In pratica sto cercando di capire come è fatta la topologia prodotto in un altro modo rispetto a quanto detto a lezione, e vedere se le idee che mi sono fatto hanno senso. Con «come è fatta» intendo dire: vedere altre definizioni equivalenti.
(Osservazione 1) \(p_X\) e \(p_Y\) sono funzioni aperte. Infatti, se ci fosse un aperto \(U\) di \(X \times Y\) per cui \(p_X U\) non è aperto, pure la topologia \(\tau_{X \times Y} - \{p_X U\}\) su \(X \times Y\) rende continua \(p_X\). Ma quest'ultima topologia è strettamente meno fine di \(\tau_{X \times Y}\), il che non può essere. Lo stesso ragionamento si può fare per dire che l'altra proiezione è aperta.
(Osservazione 2) Un'altra cosa che posso dire è che per la continuità delle due proiezioni ho che:
[*:2mvhimn8] se \(A\) è un aperto di \(X\), allora \(A \times Y = p_X^{-1}A\) è un aperto di \(X \times Y\);[/*:m:2mvhimn8]
[*:2mvhimn8] se \(B\) è un aperto di \(Y\), allora \(X \times B = p_Y^{-1}B\) è un aperto di \(X \times Y\).[/*:m:2mvhimn8][/list:u:2mvhimn8]
L'insieme \[\psi := \{ A \times Y \mid A \text{ aperto di } X \} \cup \{ X \times B \mid B \text{ aperto di } Y \}\]non è propriamente una topologia, in quanto non è chiuso per l'intersezione. In una certo senso l'idea che mi sono fatto è quella di "chiuderlo" sia per l'intersezione (binaria) che per le unioni di una qualsiasi famiglia di insiemi. Cioè, considerare la topologia meno fine ("la più piccola") contenente questi aperti.
(Teorema | Definizione equivalente 1) La topologia prodotto è la topologia meno fine tra quelle contnenti \(\psi\). Non ho ancora fantasia coi simboli, quindi indico quest'ultima con \(\langle \psi \rangle\).
(Dimostrazione) Per come è definita, \(\tau_{X \times Y} \subseteq \langle \psi \rangle\). Tuttavia, se \(U \times V\) è un aperto di \(X \times Y\), essendo aperte le proiezioni, pure \(U\) e \(V\) sono aperti rispettivamente di \(X\) e \(Y\). Ora \[U \times V = (U \times Y) \cap (X \times V)\] è intersezione di elementi di \(\langle \psi \rangle\), e quindi in definitiva suo elemento. Questo deriva dal fatto che le proiezioni sono aperte: \(U\) e \(V\) sono aperti di rispettivamente \(X\) e \(Y\). Quindi anche \(\langle \psi \rangle \subseteq \tau_{X \times Y}\). E quello che volevamo dimostrare.
La parte che mi interessa di più è questa.
(Teorema | Proprietà universale del prodotto, prima parte) Per ogni spazio topologico \(A\) e per ogni coppia di funzioni continue \(f : A \to X\) e \(g : A \to Y\) esiste un'unica funzione continua \(h : A \to X \times Y\) per la quale commuta
[tex]\xymatrix{
& A \ar[dl]_f \ar[dr]^g \ar@{.>}[d]|-h & \\
X & X \times Y \ar[l]^{p_X} \ar[r]_{p_Y} & Y \\
}[/tex]
& A \ar[dl]_f \ar[dr]^g \ar@{.>}[d]|-h & \\
X & X \times Y \ar[l]^{p_X} \ar[r]_{p_Y} & Y \\
}[/tex]
(Dimostrazione) C'è stato un topic aperto non tanto tempo fa in cui si parlava della proprietà universale del prodotto in \(\mathbf{Set}\). Quello che voglio è vedere se una cosa del genere funziona (e se ve ne sto scrivendo spero che lo faccia
) in \(\mathbf{Top}\). L'esistenza e l'unicità di una funzione \(h : A \to X \times Y\) è stata vista nella discussione appena menzionata, e non la ripeto qui. Rimane da vedere la continuità di questa funzione. Sia \(U \times V\) un aperto di \(X \times Y\): allora \[h^{-1}(U \times V) = h^{-1}((U \times Y) \cap (X \times V)) = h^{-1}(U \times Y) \cap h^{-1}(X \times V))\] Essendoci dietro tutto un diagramma commutativo, ho che\begin{align*}
& f^{-1} U = (p_X h)^{-1} U = h^{-1}(U \times Y) \\
& f^{-1} V = (p_Y h)^{-1} V = h^{-1}(X \times V)
\end{align*}La funzione \(h\) è continua.
(Teorema | Proprietà universale del prodotto, seconda parte) Se prendo uno spazio topologico \(X \times Y\) che ha a sé le due proiezioni continue e tale che per ogni coppia di funzioni continue \(f : A \to X\) e \(g : A \to Y\) esiste un'unica funzione continua \(h : A \to X \times Y\) per la quale commuta
[tex]\xymatrix{
& A \ar[dl]_f \ar[dr]^g \ar@{.>}[d]|-h & \\
X & X \times Y \ar[l]^{p_X} \ar[r]_{p_Y} & Y \\
}[/tex]
& A \ar[dl]_f \ar[dr]^g \ar@{.>}[d]|-h & \\
X & X \times Y \ar[l]^{p_X} \ar[r]_{p_Y} & Y \\
}[/tex]
allora la topologia su \(X \times Y\) è la topologia prodotto definita all'inizio.
(Dimostrazione) Basta prendere \(A = X \times Y\), \(f = p_X\) e \(g = p_Y\). In tal caso la funzione continua verticale è proprio l'identità. Ecco che la topologia su \(X \times Y\) è la più piccola delle topologie per cui le proiezioni sono continue.
Può andare?
Risposte
Che le mappe di proiezione sono aperte è vero: https://proofwiki.org/wiki/Projection_f ... gy_is_Open
ma la dimostrazione necessita di più notazione.
Che la topologia prodotto renda il prodotto cartesiano un prodotto in \(\bf Top\) è pure vero. Ovviamente i prodotti non devono per forza essere binari; ma in quel caso la topologia prodotto inizia a differire dalla box topology: qual è la proprietà universale della seconda, se c'è?
ma la dimostrazione necessita di più notazione.
Che la topologia prodotto renda il prodotto cartesiano un prodotto in \(\bf Top\) è pure vero. Ovviamente i prodotti non devono per forza essere binari; ma in quel caso la topologia prodotto inizia a differire dalla box topology: qual è la proprietà universale della seconda, se c'è?
"arnett":
intanto immagino tu volessi scrivere $\tau_{X \times Y} - \{U\}$, perché $p_XU$ non sta in $X \times Y$[...]
Errore di battitura.
"arnett":
Osserva che $U$ non è $p_X^{-1}(p_X(U))$ [...]
Lo so. Sono stato troppo indelicato in quell'osservazione, e lo sentivo ma tanto valeva scrivere e sentirmelo dire. Ho visto la pagina di ProofWiki, e l'impressione che mi sono fatto e che sta quasi tutto nelle notazioni. Me la quarderò più tardi e vi farò sapere in caso di dubbi.
Mi sto vedendo un attimo questo pezzo, e ho provato a fare delle modifiche che mi sembra risolvano qualcosa...
Prendo un aperto \(U \times V\) di \(X \times Y\) e suppongo che \(U = p_X(U \times V)\) non sia un aperto. A differenza da quanto fatto non rimuovo \(U \times V\) dalla topologia prodotto, ma \(U \times Y\): la topologia \[\tau_{X \times Y} - \{U \times Y\}\] su \(X \times Y\) mi sembra rendere ancora continua \(p_X\). Dopo tutto, un qualsiasi aperto di \(X\) è quindi diverso da \(U\), e perciò la preimmagine questi sarà diversa da \(U \times Y = p_X^{-1} U\).
"kaspar":
(Osservazione 1) \( p_X \) e \( p_Y \) sono funzioni aperte. Infatti, se ci fosse un aperto \( U \) di \( X \times Y \) per cui \( p_X U \) non è aperto, pure la topologia \( \tau_{X \times Y} - \{p_X U\} \) su \( X \times Y \) rende continua \( p_X \). Ma quest'ultima topologia è strettamente meno fine di \( \tau_{X \times Y} \), il che non può essere. Lo stesso ragionamento si può fare per dire che l'altra proiezione è aperta.
Prendo un aperto \(U \times V\) di \(X \times Y\) e suppongo che \(U = p_X(U \times V)\) non sia un aperto. A differenza da quanto fatto non rimuovo \(U \times V\) dalla topologia prodotto, ma \(U \times Y\): la topologia \[\tau_{X \times Y} - \{U \times Y\}\] su \(X \times Y\) mi sembra rendere ancora continua \(p_X\). Dopo tutto, un qualsiasi aperto di \(X\) è quindi diverso da \(U\), e perciò la preimmagine questi sarà diversa da \(U \times Y = p_X^{-1} U\).
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