Riscrivere una matrice come prodotto di matrici elementari.

[Pasquale 90]

Buongiorno.


Come da titolo, sia $A in M_n(K)$

\(\displaystyle A=\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} \)

prima operazione

\(\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 1 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} \)

seconda operazione

\(\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -2 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} \)

terza operazione

\(\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1/2 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -2 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \)

cioè ho moltiplicato a sinistra di $A$ per una matrice elementare relativamente all'operazione. Per le singole operazione elementari devo determinare l'inversa, cioè, devo determinare l'inversa della matrice corrispondete.
(Se ho detto male, correggetemi )

Sia
\(\displaystyle E_3=\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1/2 \end{vmatrix} \) la sua inversa \(\displaystyle A_1=\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} \)

quindi

\(\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -2 \end{vmatrix}\)

Sia
\(\displaystyle E_2=\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \) la sua inversa \(\displaystyle A_2=\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \)

quindi

\(\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -2 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & -2 \end{vmatrix}\)

Sia
\(\displaystyle E_3=\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 1 \end{vmatrix} \) la sua inversa \(\displaystyle A_3=\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} \)

quindi

\(\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & -2 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} -2 & -1 \\ -6 & -2 \end{vmatrix}\)

L'errore mi sembra che deve essere nel secondo passaggio, cioè, quello scritto in rosso. Ho provato a vedere, ma non riesco a visualizzarlo.

Grazie in anticipo per le risposte.

[Pasquale 90]

Grazie per la risposta sergio, inoltre, da questa tua risposta, mi posso rispondere anche alla domanda

$AB=C to A=B^(-1)C or A=CB^(-1)$

vale la seconda, essendo il prodotto tra matrici non commutativo:
Se fosse per assurdo corretta la prima $A=B^(-1)C to AB=B^(-1)CB ne C$
invece $A=CB^(-1) to AB=CB^(-1)B=C(B^(-1)B)=C(I_n)=C $.

?