Riparametrizzazione di una curva e ascissa curvilinea
Non riesco a capire questo concetto della geometria differenziale delle curve in $RR^3$....
Allora, sia $alpha: I sube RR \to RR^3$ una curva differenziabile. Data una funzione $t=t(s)$, definita nell'intervallo $J$ di $RR$ ed a valori nell'intervallo $I$, diciamo che la curva $beta=alpha°t: J sube RR \to RR^3$, $s in J \to beta(s)=alpha(t(s)) in RR^3$ è una RIPARAMETRIZZAZIONE della curva $alpha$.
La riparametrizzazione è regolare se $t$ è biiettiva e se $t'(s)=dt/ds!=0$ per ogni $s in J$.
Essendo $t$ biiettiva esiste la sua inversa che possiamo utilizzare per passare da $beta$ ad $alpha$.
E fin qui ci sono.
Sia $alpha(t)=(x(t),y(t),z(t))$ una curva differenziabile definita su un intervallo $I$. Supponiamo che $[a,b] sube I$. La lunghezza dell'arco di curva compreso fra gli estremi $alpha(a)$ e $alpha(b)$ è $\int_{a}^{b} ||alpha'(t)||dt.$
Questa definizione non dipende dal parametro, infatti considerata $beta$, una riparametrizzazione regolare della curva mediante la funzione $t=t(s)$, e supponendo $a=t(a_1)$ e $b=t(b_1)$, avremo $\int_{a}^{b} ||alpha'(t)||dt=\int_{a_1}^{b_1} ||beta'(s)||ds$.
E ci sono anche qui.
Sia $alpha$ una curva definita su un intervallo $I$. Fissiamo un valore $a in I$. La funzione $s(t)=int_{a}^{t} ||alpha'(u)|| du$ si dice ascissa curvilinea o parametro lunghezza d'arco della curva $alpha$ con punto iniziale $a$.
E' sempre possibile riparametrizzare una curva regolare mediante l'ascissa curvilinea. In tal caso il campo tangente della curva parametrizzata ha modulo costante uguale a uno.
Qualcuno sa dirmi cosa significa??? E graficamente??? E come si riparametrizza una curva mediante l'ascissa curvilinea???
Grazie
Allora, sia $alpha: I sube RR \to RR^3$ una curva differenziabile. Data una funzione $t=t(s)$, definita nell'intervallo $J$ di $RR$ ed a valori nell'intervallo $I$, diciamo che la curva $beta=alpha°t: J sube RR \to RR^3$, $s in J \to beta(s)=alpha(t(s)) in RR^3$ è una RIPARAMETRIZZAZIONE della curva $alpha$.
La riparametrizzazione è regolare se $t$ è biiettiva e se $t'(s)=dt/ds!=0$ per ogni $s in J$.
Essendo $t$ biiettiva esiste la sua inversa che possiamo utilizzare per passare da $beta$ ad $alpha$.
E fin qui ci sono.
Sia $alpha(t)=(x(t),y(t),z(t))$ una curva differenziabile definita su un intervallo $I$. Supponiamo che $[a,b] sube I$. La lunghezza dell'arco di curva compreso fra gli estremi $alpha(a)$ e $alpha(b)$ è $\int_{a}^{b} ||alpha'(t)||dt.$
Questa definizione non dipende dal parametro, infatti considerata $beta$, una riparametrizzazione regolare della curva mediante la funzione $t=t(s)$, e supponendo $a=t(a_1)$ e $b=t(b_1)$, avremo $\int_{a}^{b} ||alpha'(t)||dt=\int_{a_1}^{b_1} ||beta'(s)||ds$.
E ci sono anche qui.
Sia $alpha$ una curva definita su un intervallo $I$. Fissiamo un valore $a in I$. La funzione $s(t)=int_{a}^{t} ||alpha'(u)|| du$ si dice ascissa curvilinea o parametro lunghezza d'arco della curva $alpha$ con punto iniziale $a$.
E' sempre possibile riparametrizzare una curva regolare mediante l'ascissa curvilinea. In tal caso il campo tangente della curva parametrizzata ha modulo costante uguale a uno.
Qualcuno sa dirmi cosa significa??? E graficamente??? E come si riparametrizza una curva mediante l'ascissa curvilinea???
Grazie
Risposte
La riparametrizzazione è attraverso la sua inversa... Cioè se $s(t)$ è l'ascissa curvilinea allora la parametrizzazione avviene attraverso la funzione $t(s) = s^{-1}(t)$.
La parametrizzazione è spesso difficile perché se anche si trova l'integrale il ricavare l'inversa non è sempre facile, anche se si sa che essa esiste. La presenza dell'ascissa curvilinea facilità alcune formule e la sua presenza permette di dare per scontato in alcune dimostrazioni che la curva sia parametrizzata con l'ascissa curvilinea e che abbia quindi modulo del vettore tangente uguale a $1$.
Per le dimostrazioni.
http://it.wikipedia.org/wiki/Curva_piana
La parametrizzazione è spesso difficile perché se anche si trova l'integrale il ricavare l'inversa non è sempre facile, anche se si sa che essa esiste. La presenza dell'ascissa curvilinea facilità alcune formule e la sua presenza permette di dare per scontato in alcune dimostrazioni che la curva sia parametrizzata con l'ascissa curvilinea e che abbia quindi modulo del vettore tangente uguale a $1$.
Per le dimostrazioni.
http://it.wikipedia.org/wiki/Curva_piana
Se può servire, io questo fatto dell'ascissa curvilinea lo vedo così:
quando consideri la parametrizzazione di una curva, in realtà tu stai fornendo i dati del moto di una particella lungo la curva stessa. Le informazioni che ricavi quindi non sono solo di natura geometrica: ad esempio derivando la parametrizzazione non ottieni il versore tangente ma un vettore che rappresenta la velocità della particella - ovvero qualcosa che contiene più informazioni di quante te ne servano per il solo studio geometrico della curva.
Però ogni curva con un minimo di regolarità ammette una parametrizzazione più pulita delle altre, appunto l'ascissa curvilinea, che si può pensare come intrinseca, libera da informazioni ulteriori. Poi, trovarla esplicitamente è un casino, come dice vict85. Ma è utile a livello teorico.
quando consideri la parametrizzazione di una curva, in realtà tu stai fornendo i dati del moto di una particella lungo la curva stessa. Le informazioni che ricavi quindi non sono solo di natura geometrica: ad esempio derivando la parametrizzazione non ottieni il versore tangente ma un vettore che rappresenta la velocità della particella - ovvero qualcosa che contiene più informazioni di quante te ne servano per il solo studio geometrico della curva.
Però ogni curva con un minimo di regolarità ammette una parametrizzazione più pulita delle altre, appunto l'ascissa curvilinea, che si può pensare come intrinseca, libera da informazioni ulteriori. Poi, trovarla esplicitamente è un casino, come dice vict85. Ma è utile a livello teorico.
Quello che ti serve sapere è essenzialmente che una curva regolare, e cioè con derivata prima sempre diversa da 0, è sempre riparametrizzabile in modo da ottenere una curva in modo che abbia modulo di velocità costante (o meglio uguale a 1). Questo fatto è molto importante in geometria differenziale poiché molte curve importanti in geometria differenziale nascono da curve con velocità costante, basti pensare alle geodetiche, curve che localmente minimizzano la distanza fra due punti in una varietà. Sono definite in modo tale da avere sempre velocità costante.
Come dicono vict85 e dissonance, ricavare analiticamente la curva parametrizzata in modo tale da avere costante velocità è molto difficile, per cui si preferisce in alcuni contesti generali di supporre di prendere direttamente la curva regolare avente questa proprietà. Condivido il discorso di dissonance, questa parametrizzazione è molto più pulita e rappresenta meglio la curva dal suo punto di vista geometrico.
Come dicono vict85 e dissonance, ricavare analiticamente la curva parametrizzata in modo tale da avere costante velocità è molto difficile, per cui si preferisce in alcuni contesti generali di supporre di prendere direttamente la curva regolare avente questa proprietà. Condivido il discorso di dissonance, questa parametrizzazione è molto più pulita e rappresenta meglio la curva dal suo punto di vista geometrico.
Grazie a tutti!
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