Riguardo i sottospazi f-invarianti
Ho un dubbio teorico riguardo i sottospazi f-invarianti:
ho una generico endomorfismo $f:V \rightarrow V $ e voglio determinare tutti i sottospazi f invarianti. Come è possibile procedere?
ho una generico endomorfismo $f:V \rightarrow V $ e voglio determinare tutti i sottospazi f invarianti. Come è possibile procedere?
Risposte
Puoi trovare diverse informazioni su queste dispense che sono linkate anche sul thread stickato in questa sezione.
Si tratta di un esercizio standard, la cui risoluzione è citata da molte fonti in rete. Se non trovi niente cercando sottospazi $f$-invarianti, prova a cercare autospazi generalizzati e in generale qualunque spiegazione su come determinare la forma canonica di Jordan.
Si tratta di un esercizio standard, la cui risoluzione è citata da molte fonti in rete. Se non trovi niente cercando sottospazi $f$-invarianti, prova a cercare autospazi generalizzati e in generale qualunque spiegazione su come determinare la forma canonica di Jordan.
Ti ringrazio. Effettivamente mi aspettavo questa risposta dunque vedrò di essere più preciso:
la scomposizione in sottospazi f-invarianti che è fatta nelle dispense di cui hai messo il link è unica? Oppure vi sono altri spazi f-invarianti che non vengono così individuati?
la scomposizione in sottospazi f-invarianti che è fatta nelle dispense di cui hai messo il link è unica? Oppure vi sono altri spazi f-invarianti che non vengono così individuati?
La decomposizione in autospazi generalizzati è unica. Ovviamente, all'interno di un autospazio generalizzato possono essere sottospazi invarianti. Gli autospazi generalizzati sono in un certo senso i mattoni fondamentali.
Ad esempio, prendi una matrice triangolare $n\times n$ con $1$ sulla diagonale. e sulla sopra-diagonale. Allora l'autospazio generalizzato è tutto $\mathbb{R}^n$. Tuttavia, ognuno degli $n$ sottospazio di $\mathbb{R}^n$ generati dai primi $k$ vettori della base canonica per $k=1 , ... ,n$ è un sottospazio invariante.
Ad esempio, prendi una matrice triangolare $n\times n$ con $1$ sulla diagonale. e sulla sopra-diagonale. Allora l'autospazio generalizzato è tutto $\mathbb{R}^n$. Tuttavia, ognuno degli $n$ sottospazio di $\mathbb{R}^n$ generati dai primi $k$ vettori della base canonica per $k=1 , ... ,n$ è un sottospazio invariante.
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