Righe e colonne linearmente indipendenti

[silviabrogi]

Data la matrice A 1 -1 2 3 4 :
2 1 -1 2 1
3 2 0 1 3
3 1 4 1 8

dopo aver scelto in ogni matrice il massimo numero di righe linearmente indipendenti, esprimere e rimanenti righe come combinazione lineare di quelle scelte. ripetere l esercizio sulle colonne.
AIUTATEMI

[Trilogy]

La tua matrice scritta così
$$\left(\matrix{
1 & -1 & 2& 3 & 4\cr
2 & 1 & -1 & 2 & 1 \cr
3 & 2 & 0 & 1 & 3\cr
3 & 1 & 4 & 1 & 8\cr}\right)$$ va meglio? Spero che ti interessi un approccio del tipo "fare le cose con le mani", piuttosto che impostare un sistema e cercare di risolverlo. Per scrivere il sistema, basta applicare la definizione di lineare (in)dipendenza.

Comunque, per trovare il numero di righe linearmente indipendenti puoi fare in vari modi. Ad esempio, puoi cominciare a notare che non ci sono due righe che sono multiple l'una dell'altra. Per vedere questa cosa, puoi osservare la prima colonna. Vedi che la prima riga comincia con $1$ e la seconda con $2$, quindi se la seconda riga fosse multipla della prima, tutte le entrate della seconda dovrebbero essere doppie rispetto a quelle della prima, ma non è così. Analogamente, se la terza riga fosse multipla della prima, dovrebbe essere tre volte la prima (se guardi la prima entrata), ma non è così.
Conviene guardare subito se c'è una riga che è multipla di un'altra, perché così puoi direttamente cancellarne una! Ma in questo caso non puoi farlo, peccato...
A questo punto, se non vedi subito una relazione tra le righe, magari ti viene il sospetto che siano effettivamente tutte linearmente indipendenti (in prima battuta possono esserlo, perché le dimensioni lo consentono). Quindi se la matrice che ti danno non è troppo brutta, e tu proprio non hai idee, puoi provare a cercare un minore di ordine massimo (cioè il determinante di una sottomatrice quadrata di ordine massimo) diverso da $0$. In generale io considererei "bruttina" una matrice come questa, quindi cercherei una relazione lineare "a occhio". Ma io in effetti adesso non vedo niente a occhio, quindi ho provato a calcolare il determinante della sottomatrice ottenuta prendendo le prime quattro colonne, e mi viene diverso da $0$, perciò sembra che le righe siano effettivamente linearmente indipendenti.
Per le colonne è più divertente. Sono cinque, e ciascuna ha quattro entrate, quindi sicuramente non sono linearmente indipendenti! Putroppo anche tra le colonne non ne trovi una che è una multipla di un'altra, ma almeno sai che sicuramente c'è una relazione lineare, quindi non è senza senso cercare!
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